2.2 点的运动方程合成——三种运动方程间的关系

本节分析三种运动——绝对运动、相对运动和牵连运动之间的关系。一般来说，若已知动系运动（即牵连运动）的规律，则可以通过坐标变换来建立点在定系中的坐标（或矢径）与在动系中的坐标（或矢径）的关系。如图2-2所示，定系为O1x1y1z1，沿其坐标轴的单位矢量分别为i1, j1, k1；动系为O2x2y2z2，沿其坐标轴的单位矢量分别为i2, j2, k2。r1为绝对运动的矢径，r2为相对运动的矢径。

由图2-2可知

因为

r1=x1i1+y1j1+z1k1, r2=x2i2+y2j2+z2k2

所以

x1i1+y1j1+z1k1=xO2i1+yO2j1+zO2k1+x2i2+y2j2+z2k2

即

(x1-xO2)i1+(y1-yO2)j1+(z1-zO2)k1=x2i2+y2j2+z2k2

将上式两边依次点乘i1, j1, k1，可得

将上式写成矩阵的形式为

若记

则式(2-1)为

式中，C12称为变换矩阵（transformation matrix）。特殊地，若动系与定系的坐标原点重合，则有

二维情况的简化

对于二维问题，其定系为Oxy，动系为O＇x＇y＇，动点为M，如图2-3所示。其变换矩阵为

若绝对运动方程为

x=x(t), y=y(t)

相对运动方程为

x＇=x＇(t), y＇=y＇(t)

牵连运动的方程为

xO＇=xO＇(t), yO＇=yO＇(t), φ=φ(t)

则不难得到三种运动方程间的关系为

例题2-1

点M相对于动系Ox＇y＇沿半径为r的圆周以速度v做匀速圆周运动（圆心为O1），动系Ox＇y＇相对于定系Oxy以匀角速度ω绕点O做定轴转动，如例题图2-1所示。初始时Ox＇y＇与Oxy重合，点M与O重合。已知OO 1=r，试求点M的绝对运动方程。

分析：本题是已知点M的相对运动方程，求点M的绝对运动方程。为此，只要利用式(2-1)写出上述两种运动方程之间的关系即可。

解：

点M的绝对运动方程与相对运动方程满足如下关系：

连接O1M,由图可知：。于是，得点M的相对运动方程为

牵连运动的方程为

xO＇=xO=0, yO＇=yO=0, φ=ωt

利用坐标变换关系式(a)，可得点M的绝对运动方程为

例题2-2

用车刀切削工件的端面，车刀刀尖M沿水平轴x做往复运动，如例题图2-2所示。设Oxy为定坐标系，刀尖的运动方程为x=b sinωt。工件以等角速度ω逆时针方向转动。求车刀在工件圆端面上切出的痕迹。

分析：本题是已知车刀刀尖的绝对运动方程，求刀尖M相对于工件的轨迹方程。

解：

车刀刀尖的绝对运动方程和相对运动方程间的坐标变换关系为

取刀尖M为动点，动系固定在工件上，则动点M在动系Ox＇y＇和定系Oxy中的坐标关系为

将点M的绝对运动方程(x, y)=(b sinωt, 0)代入式(a)中，得

上式即为车刀相对于工件的运动方程。

从上式中消去时间t，得刀尖的相对运动轨迹方程为

可见，车刀在工件上切出的痕迹是一个半径为的圆，该圆的圆心C在动坐标轴Oy＇上，圆周通过工件的中心O，如例题图2-2中的虚线所示。