3.4 Reed Solomon码

3.4.1 RS码原理与能力

RS码是1960年由Irving S.Reed和Gustave Solomon提出的编码方法，简称RS码，它有很强的检错和纠错能力。有相对简单的解码算法。由于这些原因，RS码已经在很多领域得到应用，例如，音频CD的差错校正，在移动通信、数字视频广播（DVB）和DAB/DMB也得到应用。按照DVB标准发射的电视信号应用RS码，可使接收机接收的信号的比特差错率改善大于106（例如，由10-3变为10-9）。设计一个数字通信系统，使其能达到10-9的比特差错率，即接收109个比特，发生错误的比特数量不得不多于1个，便可以通过附加应用RS码来实现。RS码在解码后的数据中剩余比特差错的概率，一般来说要比不用RS码时下降很多，这通常称为编码增益。

RS码是以很多符号组成块来工作的，符号一般来说由8比特构成。因此，RS码属于典型的以符号为基础的块码。

如果RS码有n个符号，校正在一个块中k/2个有差错的符号，就必须附加k个校验符号。Reed Solomon编码在时域和频域都是可能的。

在编码器中信息符号这样安排，即它们处在传输的码字的最初的m位。这些码字通过一个特有的码字生成多项式除。这个多项式有这样的特点，它的零位在分布谱中有连续的k位零。这种按模计算结果的k位附加在传输的码字m位的后面。这些这样结合在一起的字c（x）具有n=m+k位。如果在传输后丧失了这种特点，解码器知道发生了差错。它可以借助不同的算法和在频域中的运算产生出差错码字 E（Z），这样就能重新恢复出原始的信息R（Z）=C（Z）-E（Z）。在反变换到时域之后在输出端提供原始的信息r（x）。

如图3-4-1所示是Reed Solomon编码与解码原理。

一个有m信息字节（这里1符号=1字节）和k校验字节的RS码称为RS（m+k，m）码。一个这样的码可以最多校正每个码字k/2个有差错的符号，识别k个有差错的符号。

【例3-1】RS（255，239）码表示码块长度共239+16=255个符号，其中信息字的长度为239个符号，校验字的长度为16个符号。这样一个由255个符号组成的码块中，最多可以纠正在这个码块中出现的8个分散的、或者8个连续的符号错误，最多识别出16个有差错的符号。

【例3-2】一个常用的RS（255，223）码，每个符号8比特。每个码字包含255个码字字节，其中223个数据字节，32个校验字节。对于这种码来说n=m+k=255，m=223，k=32，k/2=16解码器可以消除在码字中16个符号所有可能的干扰：也就是说，在所有的码字中最多16个符号中的干扰都可以自动消除。

如果给出了每个符号有多少比特的话，那么RS码最大的码字长度为2s-1。例如，一个符号为8比特（s=8），一个码的最大码长为28-1=255字节。

RS码的码长可以缩短，这时，不传输的数据符号的数量在编码器中用0来构成，在解码器中重新插入。

例如，RS（255，223）码可将其缩短为RS（200，168），编码器取168 数据字节的一个块，再与55个0字节相加，形成一个（255，223）的码字，但是仅仅传输168个数据字节与32个校验字节。

RS码对编码器与解码器要求的处理能力，取决于每个码字的校验符号的数量。k的值越大，意味着很多干扰都可以消除，但是，要求的计算能力要比k值小时大。

如果在一个符号中出现1比特的差错，就是出现了一个符号干扰，或者在一个符号中所有的比特都发生了错误，这也是符号干扰。例如，RS（255，223）可以消除16个符号干扰。在最坏的情况下，可能出现16比特干扰，每个可能在不同的符号（字节）中，因此解码器可以消除16个比特干扰。在最好的情况下，出现16个整个字节干扰，这样，解码器消除16×8个比特干扰。

如图3-4-2所示是不同的RS码的剩余比特差错概率。

3.4.2 生成多项式校验符号

在一个RS（n，k）码中，有2k个不同的码字，所有有效的码字正好是能被生成多项式除尽的。因此，RS码字可以通过一个特有的多项式（生成多项式）产生。生成多项式的一般形式是

式中a为GF（2m）的本原元素。GF（2m）是由2m个元素组成的有限域（或称伽罗华域），在M进制分组码中，其元素为0，1，…，（M-1），例如M=4进制码，其元素为0，1，2，3；对应的二进制数为00，01，10，11。对于M进制RS码，M=2m，其元素0，1，…，（2m-1）。

编码后得到的有效码字c（x）是

这里g（x）是生成多项式，i（x）是信息块，c（x）是一个有效码字。

在一个系统RS码字中的k个校验符号为

3.4.3 RS码与卷积码的级联

为了提高编码效率，有这样的可能性，将不同的编码器一个跟一个级联起来。第一个编码器（编码率为R1）称为外编码器，而第二个编码器（编码率为R2）称为内编码器，图3-4-3所示是级联编解码器原理方框图。当传输的源数据率为Ru时，那么在信道上传输的总数据率R0为

如果选择外编码器为块码编码器（例如RS编码器），而内编码器是卷积码编码器，那么内编码器可以校正单个的比特差错，外编码器可以校正较短的块差错。为了能够校正较长的块差错，可在两个编码器之间接入内交织器。内交织器不是添加新的数据冗余，而是对数据重新整理，使原来一个挨着一个的比特相互离开一个交织深度I。