提升数学力的秘诀就是“停止背诵”

因为工作的关系，我时常被人问到这样的问题：

“如何才能学好数学呢？”

这时我都会回答：

“不要死记硬背。”

下一秒钟，对话一定会进入一段很奇妙的空白（笑）。毕竟那些不擅长数学的学生，大多认为学习数学就是死记公式和解法，所以这是正常现象。但从我过去的指导经验中，我很确定学习数学绝对不是死记硬背，反而越是死记公式或解法，越学不好，然后就会觉得数学很无聊，最后开始讨厌数学。

为什么会这样呢？

正如前文所述，我们学习数学的目的是培养逻辑思维。数学当中出现的函数、方程、向量和数列等，都只是用来培养逻辑思维的工具而已，而逻辑思维的锻炼只能靠我们用自己的头脑进行。对于似懂非懂的学问，如果从头到尾只打算死记硬背的话，等于是在拒绝思考。不用我说大家也知道，这绝对是养成逻辑思维的一大阻碍。

学好数学最应该具备的态度就是思考“为什么”，这也是学习数学的起点。

举个例子好了。吉卜力工作室的电影《儿时的点点滴滴》（编注：高田勋导演，又名《岁月的童话》）当中，有一段很经典的片段，是小学五年级的主角妙子，在向高中生的姐姐请教分数的除法。

妙子：“什么叫作‘用分数除分数’啊？”

姐姐：“什么？”

妙子：“个苹果除以，意思是不是就是把个苹果平均分给4个人，看每个人拿到的苹果呢？”

姐姐：“嗯？嗯……”

妙子：“所以（一边画苹果一边想）1、2、3、4、5、6，每个人有个。”

姐姐：“不对不对！你那是乘法！”

妙子：“为什么？如果是乘法的话，为什么数字会变少？”

姐姐：“把个苹果除以的意思是……（词穷）总之！你一直在讲苹果，害我搞不清楚啦！乘法就直接乘！除法就是把后面分数的分子分母颠倒过来的乘法，这样记就可以了！”

这段场景简直就是数学负面教育的缩影，虽然只有短短几句对话，却让我印象深刻。看过这部电影的人，想到自己也跟妙子的姐姐一样，无法说清楚分数的除法，恐怕也会面露苦笑吧。不过在小学数学中，并不需要解释为什么“分数的除法要颠倒分子分母”。正如前文所述，小学数学的学习目标是为了在日常生活中迅速计算出正确的答案，因此只要记住算法，然后按照规则计算即可。

但是，如果从数学式思考的角度检验分数的计算，就有必要清楚说明“为什么按照那种方式计算就能得到答案”，因为比起答案本身，学数学时更重要的是解答的过程。从这点来看，妙子可以说是充分具备学习数学的素养。

机会难得，我想在此解释一下“分数的除法要颠倒分子分母”的理由。如果对这部分没兴趣的朋友，接下来这几页内容可以直接跳过。

为什么分数的除法要颠倒过来？

分数究竟是什么？

说起来，分数究竟代表什么意思呢？看到这里，你可能会想：“不会吧？要从头开始解释吗？”但是，当我们在数学上遇到不懂的概念时，“追本溯源”是非常重要的一件事。所以接下来，请耐心地跟我一起探究其中的学问吧。

假设现在我们要计算：

1÷4

这个算式的意思就是“把1个东西分成4等份以后的其中1份”，没错吧？不过，由于我们无法用整数表示计算的结果，所以就把计算的结果写成。

如果把过程公式化的话，就会是这样：

把1个东西分成n等份以后的其中一份就是

这就是分数的定义。用数学式表示的话，就是：

没错吧？

 

分数的乘法

接下来，我们同样来确认一下分数的乘法。假如题目是：

请问其中的意义又该如何解读呢？

为了利用视觉帮助理解，我们来想想长方形的面积吧。如果把想成是一个长、宽的长方形，并用面积来表示的话，就会得到下图的长方形：

试着把这个长方形放进1m×1m的正方形里。

结果我们可以看到，灰色的长方形相当于正方形纵切4等份、横切2等份后的其中3块。由于纵切4等份、横切2等份以后，整个正方形会变成8等份，因此灰色长方形的面积就等于3个。也就是：

换句话说：

没错吧？这也就表示这道题目可以这样计算：

所以结论就是，分数的乘法只要用分母乘分母、分子乘分子，即可得出答案。

这同样也可以用一般化的数学式表示：

用分数除以分数是什么意思？

在我们开始计算分数除以分数之前，先来思考以下这个算式的意思：

如果把它想成“把1分成等份”的话，头脑应该会觉得很混乱吧。这里我们可以采用除法的另一种含义，就是“把1以为单位来分，总共会得到几个（1是由几个所组成）? ”画成图的话就是：

所以答案就是3对吧？亦即：

用一般化的数学式表示的话就是：

以上是理解分数除以分数前必备的分数“基础”。

好了，我们现在终于可以开始解答妙子的疑问了。她的问题是：

没错吧？首先，我们用基础（ⅱ）来分解算式。然后再套用基础（ⅲ）的概念。

看到了吗？从第一个和最后一个算式可知，只要把除数上下颠倒，然后与被除数相乘，即可得出答案。

另外，即使分子不是1，我们也可以用下面这种思考方式推知，分数相除时只要把除数颠倒过来与被除数相乘即可。

注：（　）前为÷时要特别注意。24÷（2×3）=24÷2÷3

小心不要误写成“24÷（2×3）=24÷2×3”。此外，我在此处适度省略了用基础（ⅱ）分解或重新写成分数的步骤。

怎么样？像这样回到分数的起源，一步一步仔细推敲，就能清楚说明为什么“分数的除法要颠倒分子分母相乘”了。光是把“分数的除法要上下颠倒”当作一项知识，顶多只称得上是算术的技巧而已，不过一旦将焦点放在“为什么这样可以得到答案”上，即使是分数的除法也能够成为锻炼逻辑力的材料。也就是说，这才是标准的数学。容我再啰嗦一次，为了达成数学最初的目的——锻炼逻辑思维，最重要的一点就是不要死记硬背。

好了，看到这里，你或许会想：

“现在说这些都为时已晚了。”

或者也有人绝望地认为：

“从现在开始重新学数学恐怕有一段很长的路要走吧。”

别担心！本书并不会要求你重新学习数学。我希望尽量通过文字而非算式，让你了解在初、高中阶段的数学学习中，究竟学到了什么东西，如果用前文引用的爱因斯坦的话来说，就是你在忘记所有学习过的数学内容之后，留下来的数学式思维究竟是一种什么样的能力。

“如果这样的话，一开始就别学什么数学不就好了吗？”

我想有人可能会这么说。确实是这样没错。可是为了让人生经验不足、尚未有足够语言表达能力的学生培养逻辑思维，学好数学绝对是最快速而有效的方法。

我假设本书的读者都已经是在社会上摸爬滚打，能够独当一面的成年人，他们人生经验丰富、语言表达能力充足、善于以抽象概念思考事情，所以我才敢这样大胆地尝试。

请善用成年人特有的优势，有效地将数学力化为你的助力吧。