1 从“矛盾”说起
两千多年前，韩非讲过这样一个故事：
楚人有鬻盾与矛者，誉之曰：“吾盾之坚，莫能陷也。”又誉其矛曰：“吾矛之利，于物无不陷也。”或曰：“以子之矛，陷子之盾，何如？”其人弗能应也。（《韩非子·难一》）
为什么“其人弗能应也”？因为“夫不可陷之盾，与无不陷之矛，不可同世而立”。换句话说，那楚人的话同时导致了“这支矛能刺破这张盾”和“它不能刺破这张盾”（或“这张盾不能被刺破”和“这张盾能被刺破”）的结论，而这一对“矛盾”句子不能同时成立。感谢古人给我们留下了“矛盾”这个生动的词语，但是，除了这一对特殊句子，一般而言矛盾是什么？矛盾到底为什么不能成立？矛盾的句子不违反语法，但它显然违反另一种法则。这是什么样的法则呢？对这样的问题，我们的古人总体来说没有表示出多大的兴趣。①毕竟，这种问题看起来跟实际生活没有太大的关系。我们能够看出那个楚人的话是矛盾，凭着直觉，也能在许多重要的场合避免矛盾，这还不够吗？
然而，从古希腊开始的西方思想家却在兴致勃勃地思考这种问题。他们愿意对很多事情刨根问底，即使这些东西并不实用。假如让古希腊的哲学家接着韩非的问题解释下去，他们大致会说：第一，同时肯定和否定同一个主张就是矛盾（“矛盾”一词，按他们的话来说，相当于“不可能”或“荒谬”），而不管这个主张是什么。第二，我们有一条普遍的形而上学原则，即所有的矛盾都不可能为真。如亚里士多德所说：“同一个东西同时且在同一方面既属于又不属于同一个东西，这是不可能的”（《形而上学》，1005b）。第三，这条“（不）矛盾律”同时是我们思想的“最确定的推理原则”或规则，这条规则说：如果你从一个主张推出了矛盾，你就要否定这个主张。后来的西方人把这条思想规则称为reductio ad absurdum（以下简称RAA）。
追问这类“无用”的问题有什么意义呢？现在一些历史学家认为，RAA提供的间接证明方法，在西方思想史上起了十分关键的作用。他们甚至说，这条规则或方法，导致了整个演绎科学的产生。②比如，上古的希腊数学，使用经验的方法，依赖视觉的形象（如人们用黑白石子代表奇偶数来做算术）。当RAA在公元前5世纪左右开始应用到数学中时，数学就逐渐脱离了石子和眼睛，发展出单纯诉诸理智的抽象证明方法。经验方法只能显示一些特例，抽象证明才能建立全称命题。③构成一个理论的核心的，是一些全称命题，一旦有了证明全称命题的严格方法，古希腊人从东方学来的实用测量术，就逐渐演变成了欧几里得严格的公理系统，而这是演绎科学的不朽典范。如今许多人认为，中国古代缺乏演绎科学的方法，这是我们没有发展出西方意义上的现代科学的重要原因之一。
诚然，古代中国人（甚至所有人）实际思考起来，也不言而喻地“默契”于RAA或类似的规则，但是，对于什么样的普遍规则制约着我们的思考这个问题，我们的先人虽不是“其人弗能应也”，却没有提供像古希腊人那样系统与清晰的答案。回不回答或如何回答这个问题，也许不影响或不严重影响实际的思考，但严重影响了人们对于自己的思想结构的理论认识。当爱利亚的哲学家开始思考为什么“是”不可能不是，也不可能既是又不是时，当毕达哥拉斯前后的数学家开始使用RAA证明全称数学定理时，其中孕育的对于抽象概念的关注以及处理抽象概念的思想方法，的确为演绎科学和思辨哲学开辟了道路，为人类的“认识自己”迈出了一大步。从对于自然的玄想到亚里士多德的形而上学，从实际测量的经验方法到欧几里得的几何学，这种巨大的发展大概不能完全归功于几个思想规则的确立，但如果没有对于思想方法的深刻反思，这发展根本不可想象。什么是矛盾？为什么矛盾不可接受？上面说的“推出”是什么意思？除了RAA，还有什么规则制约着我们的推理？亚里士多德（和希腊化时期的一些学者）把古希腊人的答案总结成一个理论——逻辑，或关于演绎推理的学说。
两千多年以来，西方逻辑经历了几个发展阶段。从亚里士多德到中世纪甚至到近代一些时候的理论可以称为传统逻辑，主要借助于自然语言，特别是对于自然语言的语法分析来理解命题和推理。17世纪，哲学家、数学家莱布尼茨（G. W. Leibniz）鉴于自然语言的模糊和歧义，提出建立一种普遍的人工语言（他称为“通用文字”），使用数学那样精确的方法研究和表达概念之间的关系，使这种语言中的推理成为严格的计算。后来，数学家布尔（George Boole）设计了这样的一个命题逻辑演算，把复合命题间的推理组织为一个代数系统。19世纪的数学家、哲学家弗雷格（Gottlob Frege）建立了他称为“概念文字”的符号语言，发明出一种全新的谓词和量词分析方法，构造了第一个谓词逻辑的演算系统。其后通过罗素（Bertrand Russell）、希尔伯特（David Hilbert）、甘岑（Gerhard Gentzen）、哥德尔（Kurt Gödel）和塔斯基（Alfred Tarski）等人的工作，逻辑语言的语形和语义诸问题逐渐得到澄清，关于逻辑系统的元逻辑理论也得到深入的研究。这条近代以来的线索标志着在传统逻辑的基础上，数理逻辑或现代逻辑的产生和发展。一言以蔽之，西方逻辑从亚里士多德发展至今，变得愈来愈精致、愈来愈严格、愈来愈完备。如今广义的逻辑学科不仅研究推理，还研究符号系统本身的性质，它的解释，它在数学、哲学、计算机科学以及语言学中的应用等等。
本书介绍数理逻辑的基本思想和技术，着重介绍它对于推理的研究，考察如何建立一个完全的形式推理系统。这是现代逻辑的第一步。我们会看到，其中的核心思想仍然沿袭了古希腊的传统，但处理技术和结果远远超越了传统逻辑。在系统展开逻辑理论之前，我们在本章中先解释一系列逻辑概念的直观背景，从中引申出本书的主题，说明这个主题的思想动机和其中主要部分的起承转合。本章涉及的某些逻辑概念，只是在直观的层面上提出和讨论，到后面的章节我们才能逐渐得到它们的严格定义。既然只是一个鸟瞰式图景，读者就不必在这里强求细节的清晰。但在探究后面的细节时返回来参照本章，或许是有益的。我们的策略是“先见森林，后见树木”，以求在考察一棵棵树木时胸中有全局的森林，在推敲形式技术时眼里有直观的图景，而不致迷失在枝节的问题中。