第5章　交线、过渡线

5.1　截交线

5.1.1　截交线的概念和性质

（1）截交线的概念

如图5-1所示，用平面与立体相交，截去体的一部分，称为截切。用于截切立体的平面，称为截平面。截平面与立体表面的交线，称为截交线。

（2）截交线的性质

如图5-1所示，截交线一般是一个封闭的平面多边形;截交线的形状取决于被截立体的形状及截平面与立体的相对位置;截交线投影的形状取决于截平面与投影面的相对位置;截交线是截平面与立体表面的共有线。

5.1.2　平面立体截交线画法示例

求平面立体截交线的方法有两种:一种是求各棱线与截平面的交点，即棱线法;另一种是求各棱面与截平面的交线，即棱面法。

求平面立体截交线的步骤一般分两步:首先进行空间分析和投影分析，分析截平面与平面立体的相对位置，确定截交线的形状，分析截平面与投影面的相对位置，确定截交线的投影特性;然后分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形，完成截交线的投影。

【例5-1】　用棱线法求图5-2（a）所示平面立体截切后的投影。

（1）空间分析和投影分析

用正垂面截断四棱锥，截平面是一个四边形，截平面与四棱锥四个棱线的交点是四边形的四个顶点。因为截平面是正垂面，其正面投影积聚成为一条直线，另外两面投影是个类似形。

（2）求截交线

① 先画出四棱锥的正面投影、水平投影和侧面投影，如图5-2（b）。

② 在正面投影上画出截平面与棱线的交点1'、2'、3'、4'，如图5-2（b）。

③ 根据点的投影规律，求出四个顶点的水平投影1、2、3、4和侧面投影1″、2″、3″、4″，如图5-2（b）所示。

④ 连接四个顶点的同面投影，即求出截平面的三面投影，如图5-2（c）所示。

⑤ 擦去被截掉的轮廓线，补全缺少的轮廓线，并整理三面投影，如图5-2（d）所示。

【例5-2】　用棱线法求图5-3（a）所示平面立体截切后的投影。

（1）空间分析和投影分析

用侧平面和水平面截四棱锥，侧平截平面是一个三边形，侧面投影反映实形，其他两面投影积聚为一条直线;水平截平面是一个五边形，水平投影反映实形，其他两面投影积聚为一条直线。

（2）求截交线

① 先画出四棱锥的水平投影和侧面投影，如图5-3（a）所示。

② 在正面投影上画出截平面与棱线的交点1'、2'、3'、4'点，如图5-3（b）所示。

③ 根据点的投影规律，求出四个交点的水平投影1、2、3、4和侧面投影1″、2″、3″、4″，如图5-3（b）所示。

④ 假想截平面整体被截，可求出两个截平面交线的两个端点A、B的三面投影，画出水平截平面的水平投影和侧平截平面的侧面投影，如图5-3（c）所示。

⑤ 擦去被截掉的轮廓线，补全轮廓线，并整理三面投影，如图5-3（d）所示。

【例5-3】　用棱面法求图5-4（a）所示平面立体的截交线。

（1）空间分析和投影分析

长方体分别用侧垂面和正垂面截切，侧垂截平面的侧面投影积聚，其他两面投影为类似形，正垂截平面正面投影积聚，其他两面投影为类似形。

（2）求截交线

① 先画出长方体的水平投影，如图5-4（b）所示。

② 画出侧垂截平面与长方体顶面交线的水平投影，如图5-4（b）所示。

③ 画出正垂截平面与长方体顶面交线的水平投影，如图5-4（c）所示。

④ 擦去被截掉的轮廓线，补全轮廓线，并整理三面投影，如图5-4（d）所示。

【例5-4】　用棱面法求图5-5（a）所示平面立体的截交线。

（1）空间分析和投影分析

平面立体用正垂面截切，正垂截平面的正面投影积聚为一条直线，其他两面投影为类似形。

（2）求截交线

① 先画出平面立体的水平投影，如图5-5（b）所示。

② 画出正垂截平面与平面立体水平面交线的水平投影，如图5-5（b）所示。

③ 连接其他截交线，如图5-5（c）所示。

④ 擦去被截掉的轮廓线，补全轮廓线，并整理三面投影，如图5-5（d）所示。

5.1.3　曲面立体截交线画法示例

（1）常见曲面截交线的性质

常见曲面截交线的性质见表5-1。

（2）求曲面截交线的步骤

求截交线一般按照如下步骤进行:

① 空间分析。根据已知视图，判断基本形体的形状和截平面的相对位置，分析截交线的性质和特点。

② 投影分析。在空间分析的基础上，进行投影分析。主要分析截交线三面投影的性质和特点。

③ 求特殊位置点。特殊位置点，一般是指截交线上的极限位置的点。极限位置点决定了截交线的范围。

④ 求一般位置点。为了准确作图，求出特殊位置点后，还要求出截交线上的一般位置点。求一般位置点，可用前面学过的表面取点的方法求出。

⑤ 判断可见性，作出截交线。判断截交线三面投影是否可见。可见的部分通过所求各点画粗实线;不可见的部分通过所求各点画虚线。

⑥ 完整轮廓线。求出截交线后，还要检查各视图的轮廓线是否完整。补画出缺少的轮廓线，擦去多余的轮廓线，准确完成立体截切后的三面投影。

（3）求截交线的方法

① 利用积聚性法。截交线所在的截平面和曲面的投影均有积聚性时，可利用积聚性直接求出截交线上系列点的三面投影，从而求出截交线。

【例5-5】　见图5-6（a），完成圆柱斜截后的三面投影。

a.空间分析。截平面与圆柱轴线倾斜，且截平面与V面垂直，是正垂面;截交线是椭圆，且绕柱面一周;截交线前后对称。

b.投影分析。截交线正面投影随截平面积聚;水平投影积聚在圆上;需要求出截交线的侧面投影。

c.求特殊位置点。截交线上共有四个特殊位置点，即截平面截圆柱轮廓线上的点。截左、右、前、后轮廓线上的点分别是Ⅰ、Ⅲ、Ⅱ、Ⅳ，四个点的三面投影如图5-6（b）所示。

d.求一般位置点。利用积聚性法求一般位置点，在截交线的正面投影上，取两对重影点a'、b'、c'、d'，圆柱面水平投影积聚，所以，四个一般位置点的水平投影a、b、c、d落在圆上。根据点的两面投影，求出四个点的侧面投影，如图5-6（b）所示。

e.判断可见性并连线。截交线的侧面投影是可见的，光滑连接各点。截交线的侧面投影仍为可见的椭圆，如图5-6（b）所示。

f.完整轮廓线。从正面投影图上可以看出，圆柱的前后轮廓线上至Ⅱ、Ⅳ两点，所以在圆柱截后的侧面投影图上，前后轮廓线应画至2″、4″。左右轮廓线在侧面投影图上不呈现轮廓。至此，完成了圆柱截后的三面投影图，如图5-6（b）所示。

【例5-6】　如图5-7（a）所示，完成圆筒开槽后的三面投影图。

按照例5-5的方法和步骤作图。作图的关键是利用积聚性法，求出如图5-7（b）所示八个点的侧面投影。

【例5-7】　如图5-8（a）所示，完成圆筒去角后的三面投影图。

按照例5-5的方法和步骤作图。作图的关键是利用积聚性法，求出如图5-8（b）所示八个点的侧面投影。

② 纬圆法。在回转面上，可作与轴线垂直的纬圆。回转面上的截交线上的点的投影，必在包含该点的纬圆的同面投影上。通过此法可以求出截交线上系列点的三面投影，从而求出截交线。

【例5-8】　见图5-9（a），完成圆锥截切后的三面投影。

a.空间分析。截平面与圆锥轴线平行，且截平面与W面平行，是侧平面;圆锥面的截交线是双曲线，截交线前后对称。

b.投影分析。截交线正面投影随截平面积聚;水平投影也随截平面积聚;需要求出反映截交线实形的侧面投影。

c.求特殊位置点。截交线上共有三个特殊位置点，即截平面与底面圆及圆锥左轮廓线的交点。截交线在左轮廓线和底面圆上的点分别是Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，三个点的三面投影如图5-9（b）所示。

d.求一般位置点。利用纬圆法求一般位置点。在截交线的正面投影上，取两对重影点a'、b'、c'、d'，四个点在圆锥面上的与水平面平行的圆上，该圆在水平面上反映实形。所以，一般位置点的水平投影a、b和c、d分别落在两个实形的圆上。根据点的两面投影，求出每个点的侧面投影，如图5-9（b）所示。

e.判断可见性并连线。截交线的侧面投影是可见的，依次光滑连接各点，截交线的侧面投影仍为可见的双曲线，如图5-9（b）所示。

f.完整轮廓线。从正面投影图上可以看出，圆锥的前后轮廓线是完整的，所以在圆锥截后的侧面投影图上，前后轮廓线应完整画出。至此，完成了圆锥截后的三面投影，如图5-9（b）所示。

【例5-9】　见图5-10（a），完成曲面立体截切后的三面投影。

按照例5-8的方法和步骤作图。作图的关键是利用纬圆法求出圆锥截切和大圆柱斜截后的截交线上一般位置点的三面投影，如图5-10（b）所示。

【例5-10】　见图5-11（a），完成圆球截切后的三面投影。

按照例5-8的方法和步骤作图。作图的关键是利用纬圆法求出反映实形的水平截平面上的圆弧的水平投影和侧平截平面上的圆弧的侧面投影，如图5-11（b）所示。