1.8.3　连续函数的性质

函数的连续性是在极限理论基础上建立的，因而利用函数极限的性质可以证明连续函数具有如下性质.

定理2（连续函数的四则运算）　如果函数f（x），g（x）在点x0处连续，那么函数f（x）±g（x），f（x）·g（x），都在点x0处连续.

定理3（复合函数的连续性）　设函数y=f（g（x））是由函数y=f（u）与u=g（x）复合而成，若函数u=g（x）在点x0处极限为u0，即，且函数y=f（u）在点u0处连续，则

在定理3中，，所以

注　在定理3的条件下，求复合函数极限时，函数符号可以和极限符号互换.

定理4　设函数y=f（g（x））是由函数y=f（u）与函数u=g（x）复合而成，若函数u=g（x）在点x0处连续，且u0=g（x0），函数y=f（u）在点u0处连续，则函数y=f（g（x））在点x0处连续.

例8　求.

解　函数是由函数复合而成，因为

而函数 在 处连续，所以

例9　

解　当x→∞时，

由于

因此

定理5（反函数的连续性）　单调递增（或单调递减）的连续函数的反函数也是单调递增（或单调递减）的连续函数.

利用连续函数的性质可得到下面的结论.

定理6　基本初等函数在其定义域内是连续的.

因为初等函数是由基本初等函数和常数经过有限次四则运算和复合运算而成，所以根据基本初等函数的连续性、连续函数的四则运算和复合函数的连续性，可以得到下面的定理.

定理7　一切初等函数在其定义区间内是连续的.

注　定理7的结论提供了一个求极限的方法.也就是说，如果函数f（x）是初等函数，且x0是其定义区间内的点，求函数f（x）在点x0处的极限就转化为求函数f（x）在点x0处的函数值，即.

例如，初等函数的定义域是实数集R，而，所以