3.2 名校考研真题详解
1．设a，b，A均不为零的有限数，证明： 
的充分必要条件是
．[华中师范大学研]
证明：
①
当
先证必要性
再证充分性
由①式有
2．设f（x）在
上有定义且在每一点处函数的极限存在．求证：f（x）在
上有界．[哈尔滨工业大学研]
证明：
由于极限存在，设
取ε=1，则存在
>0，使当
时有
令
①
即
存在
使①式成立．于是
是
上的一个开覆盖，由有限覆盖定理存在有限个，不失一般设为
也构成
的一个开覆盖，且
②
再令
，则
3．设函数f（x）定义在
上，f（x）在每一个有限区间（a，b）内有界，并满足
．证明：
．[江苏大学研]
证明：由于
，所以对任意的ε＞0，存在
，使得当
时，有
于是有
将这些式子相加有
由于f（x）在
上有界，即存在C＞0，使得当
时，有
，从而
，于是
又因为
，所以存在
，使得当
时，有
于是取
，则当x＞M时，有
即
．
4．设函数f（x）在点x0的邻域，（点x0可能例外）有定义，且对任意的点列
都成立，试证明：
．[中科院武汉物理与数学研究所研]
证明：反证法．设x0到I的边界的距离为d，若
，则存在
，对任意的
存在
使得
取
，则存在
，满足
．再取
．则存在
满足
．
依次类推，取
，则存在
，满足
．
这样就得到点列
，且
，但
这与题设条件矛盾，得证．
5．求
．[华南师范大学研]
解：由等价无穷小量知
由微分中值定理知
其中
位于
或
之间．所以
6．证明：
在[a，+∞]（其中a＞0）上一致连续，
在（0，1）上不一致连续．[中国科学院研]
证明：对
，取
，当
时，
．
由一致连续的定义知，
在[a，+∞]（a＞0）中一致连续．
在（0，1）内取
，取
，对任意δ＞0，只要n充分大总有
所以f（x）在（0，1）上不一致连续．
7．设f（x）和g（x）为连续函数，试证明
也为连续函数，其中max表示取最大值。[北京工业大学研]
证明：由于
，所以只要证明
为连续函数即可。因为f（x）和g（x）为连续函数，所以对任意的
，任意的ε>0，存在δ>0，使得当
时，有
从而当
时，由三角不等式得
所以
在处连续，再由的任意性知，
为连续函数。于是
也为连续函数。
8．设f（x）是在区间[a，+∞）上的有界连续函数，并且对任意实数c，方程f（x）=c至多只有有限个解，证明：
存在。[华东师范大学研]
证明：由于f（x）在区间[a+，∞）上有界，所以数列{f（n）}有界，由致密性定理知存在子列
收敛，记
。下证
，反证法。假设
，则存在
及单调递增数列
，使得
。由于
是有界的，所以由致密性定理知存在子列
收敛，并记
。从而
，不妨设B>A。由极限的保号性知，存在K>0，使得
于是由连续函数的介值性知
有无限多个解，矛盾。
9．设f（x）在有限区间（a，b）上有定义，试证明f(x)在（a，b）上一致连续的充要条件是，若
是（a，b）中的收敛列，则
也是收敛列。[中山大学研]
证明：必要性。因为f（x）在（a，b）上一致连续，所以对任意的ε>0，存在δ>0，使得
又因为
是（a，b）中的收敛列，所以由Cauchy收敛准则知存在N>0，使得
，故有
从而由Cauchy收敛准则知
是收敛列。
充分性。反证法。若f（x）在（a，b）上不一致连续，则存在
，对任意的
，有
，虽然
，但
。注意到（a，b）是有限区间，因此
中存在收敛的子序列
。因为
（当n→∞时），故
中相应的子序列
也收敛于相同的极限。从而穿插之后，序列
也收敛，为Cauchy列。但其象序列
恒有
，不是Cauchy列，与已知条件矛盾。