三、计算题

1某消费者的效用函数为u（x，y）＝x＋46y－2y²，他的收入为135元。如果商品x的价格为1元/单位，商品y的价格为18元/单位，他对商品x的最优选择量为多少？

解：效用最大化的条件为（∂u/∂x）/（∂u/∂y）＝1/（46－4y）＝P_x/P_y＝1/18，解得y＝7。

预算约束方程为：x＋18y＝135，代入y＝7可得：x＝9。

因此，消费者对商品x的最优选择量为9单位。

2某消费者消费商品x和商品y两种商品，他的效用函数为min{x＋2y，2x＋y}，他选择购买10个单位商品x和20个单位商品y。如果商品x的价格为1元/单位，则他的收入为多少？

解：消费者无差异曲线如图5-3所示。

图5-3　u（x，y）＝min{x＋2y，2x＋y}的无差异曲线

当y≥x时，其边际替代率为2，根据效用最大化条件可得：P_y＝P_x/MRS_xy＝1/2。

因此，消费者收入为：10×1＋20×1/2＝20（元）。

3某消费者的效用函数为U（x，y）＝（x＋2）（y＋1），如果他的边际替代率为－4，并消费14个单位商品x，那么他消费多少单位商品y？

解：已知效用函数为：U（x，y）＝（x＋2）（y＋1），则边际替代率为：

MRS＝－（∂u/∂x）/（∂u/∂y）＝－（y＋1）/（x＋2）＝－4

当x＝14时，y＝63。

4某消费者的效用函数为u（x，y）＝min{x，y²}，如果商品x的价格为25元/单位，商品y的价格为15元/单位，该消费者选择消费7个单位商品y，那么他的收入为多少？

解：根据效用函数可知，商品x和商品y是完全互补品，其无差异曲线如图5-4所示。

图5-4　u（x，y）＝min{x，y²}的无差异曲线

消费者效用最大化的点为折点处，即x＝y²，当y＝7时，x＝49。

此时消费者的收入为：15×7＋25×49＝1330（元）。

5某消费者消费三种商品，效用函数为

若该消费者收入m＝100，三种商品p₁＝1，p₂＝2，p₃＝1，求消费者的最优选择。

解：首先讨论x₂、x₃的需求量，两者是完全替代的，因为p₂＝2＞p₃＝1，则消费者不会消费商品2。

所以效用函数可以改写为：u（x₁，x₂，x₃）＝x₁＋x₃^1/2。

由效用最大化的条件可得：

解得：x₃＝0.25。

由题意知预算约束为：x₁＋x₃＝100，所以x₁＝99.75。

因此消费者的最优选择为：（99.75，0，0.25）。

6某家庭对包括食品和其他商品的偏好可以用效用函数u＝xy⁵表示，其中x、y分别表示该家庭消费食品和其他商品的价值量。若该家庭月收入为300元，政府对该家庭进行食品券补贴：每月支付150元，即可购买价值300元的食品券，没有用完的食品券可以按原实际购买金额进行退款；一年后，政府补贴改为实物补贴，即每月派发价值为150元的食品；又过了一年，政府的救济改为直接每月向该家庭补贴150元。请分别作图表示各年补贴对预算线的影响，写出预算方程，并计算相应各年的最优消费束。

解：（1）食品券补贴预算线方程为：

此时的预算线如图5-5中的折线FGE所示。

图5-5　政策变化前后的最优选择

①当0≤x≤300时，u＝xy⁵＝（600－2y）y⁵，由该效用函数一阶导为零，可得：x＝100，y＝250。

②当300≤x≤450时，u＝xy⁵＝（450－y）y⁵，由该效用函数一阶导为零，可得：x＝75，y＝375，x不在定义域内，舍去。

因此最优消费束为（100，250），如图5-5中A点所示。

（2）实物补贴预算线方程为：

此时的预算线如图5-5中的折线FBE所示。

①当0≤x≤150时，最大值点为：x＝150，y＝300；

②当150≤x≤450时，u＝xy⁵＝（450－y）y⁵，由该效用函数一阶导为零，可得：x＝75，y＝375，x不在定义域内，舍去。

因此最优消费束为（150，300），如图5-5中B点所示。

（3）货币补贴预算线方程：x＋y＝450，此时的预算线如图5-5中的直线DE所示。

u＝xy⁵＝（450－y）y⁵，由该效用函数一阶导为零，可得：x＝75，y＝375，因此最优消费束为（75，375），如图5-5中C点所示。