2.4 距离和可拓距

2.4.1 经典数学中距离的定义

实数轴上点x与点y之间的距离为

ρ（x，y）=x-y

实数轴上点x与有限区间X0=<a，b>之间的距离

“距离”这一基本概念规定了“区间内的点与区间的距离皆为零”。因此，在本质上，规定了“类内即为同”的定性描述，无法表达事物的“量变”和“质变”。

例如，点3和4到区间<1，5>的距离都为0，6到区间<1，5>的距离为1。

2.4.2 可拓距的定义

可拓学为了描述类内事物的区别，规定了点x与区间X0=<a，b>之间的可拓距。

<定义2.2>设x为实轴上的任一点，X=<a，b>为实域上的任一区间，称

为点x与区间X的可拓距。式中，<a，b>既可为开区间，也可为闭区间，还可为半开半闭区间。

对实轴上的任一点x0，有

例如，某电动机正常运转对电流范围有一定要求，通常用额定电流<20A，50A>表示这个理想范围。在实际问题中，电流的大小还有一个可接受的范围，如<15A，53A>，在此范围之外，电机才真正不能转动或被烧坏。这两个区间形成一个区间套，点与这两个区间的关系用位值来描述。

下面给出位值的概念。

<定义2.3>设X0=<a0，b0>，X=<a，b>，且X0⊆X，则点x关于区间X0和X组成的区间套的位值规定为

D（x，X0，X）=ρ（x，X）-ρ（x，X0） （2-2）

D（x，X0，X）就描述了点x与X0和X组成的区间套的位置关系。

【例2-1】给定X0=<3，5>，X=<1，9>，求D（2，X0，X），D（4，X0，X），D（6，X0，X），D（10，X0，X）

解：根据式（2-2）得

【例2-2】给定X0=<3，5>，X=<3，9>，求D（2，X0，X），D（6，X0，X），D（10，X0，X）

解：根据式（2-2）得

如上所述，很多实际问题对某些指标的要求都有两个区间：量值符合要求（或理想）的区间和可接受（或质变）的区间。例如，消费者到商店购买一个家电，会在心中预设某个满意的价位区间，如<2000元，2500元>，同时也会预设一个可接受的价位区间，如<2000元，2700元>。某类电动机运行，对电压的要求有最优区间<210V，240V>，也有一个可用的区间<180V，280V>，超出此区间则无法起动或烧毁。医学上有服药量的控制范围；许多现象符合孔子的“中庸之道”，不及则倾，过之则覆。

2.4.3 衡量矛盾程度的关联函数

为了能用公式定量描述矛盾问题的程度，可拓学建立了初等关联函数基本公式，作为关联准则的定量化表示方式。读者可参考可拓学专著深入学习，在此不再详述。

近年来，美国学者弗罗仁汀·司马仁达齐（Florentin Smarandache）建立了多维关联函数的公式，使关联函数的应用更为广泛。读者可参考文献《Generalizations of the Distance and Dependent Functionin Extenics to 2D，3D，and n-D》自行学习，本书不再详述。