8.1 为什么“祖率”是一项了不起的成就

为什么是一项了不起的成就？

提起中国古代数学的成就，都会想起南北朝时期的祖冲之。他是世界上第一个把圆周率π的值准确计算到小数点后第七位的人，他不仅算出：3.1415926＜π＜3.1415927，还提出：用作为π的近似分数。祖冲之把称为“约率”，把称为“密率”。

但是，妙在什么地方呢？

精确固然好，但不用也能精确。祖冲之既然知道π的8位有效数字，为什么不用以下分数

作为π的近似值呢？误差不超过0.000000005，岂不更好？

但这个分数的分母、分子是九位数，比113和355大得多，不便写、不便记、不便用。我们希望近似分数要精确，同时分子、分母又要小。要比的话，就要给分子、分母定界限，这样比，的好处就显出来了。

人们发现，分母不超过113的分数中，和π最接近的就是。所以是更接近π的一个“最佳近似分数”。

更妙的是，即使允许分母是任意一个三位数，甚至任意一个四位数，仍然找不到比更接近π的分数。

事实上，在所有分母不超过16500的分数中，要问谁最接近π，只有是当之无愧的冠军！祖冲之的“密率”之妙，实在令人叹服！

比更接近π的分数中，分母最小的是：

它比略强一点，但分母大了上百倍。顺便提一句，是很容易记住的：把113355一分为二，便是它的分子与分母。

祖冲之是用什么办法把π算到小数点后第七位的？又是怎样找到既精确又方便的近似分数的？这些问题到现在仍是一个谜。