1.3　极限的运算法则

在求一些较复杂的函数的极限时，有时需要用到极限的四则运算法则或复合函数的极限运算法则.

1.3.1　极限的四则运算法则

由于数列是一种特殊的函数，所以以下法则对数列极限也适用.

定理1　设，则

特别地，有

注意

（1）定理1对自变量的如1.2.2节所述的七种变化趋势同样成立；

（2）定理1中的法则（1）和法则（2）可推广到有限个函数的情形，但法则要求参与运算的各个函数的极限都存在；

（3）极限的四则运算法则表明：在参与四则运算的各个函数的极限存在的条件下，极限运算与函数运算可以交换次序；若不满足条件，则不能直接用法则计算极限.

【例1】　求下列极限：

（2）因为分子、分母的极限都存在，且分母的极限不为零，所以

【例2】　求下列极限：

解　（1）当x→2时，分子、分母的极限都是零，称为“”型的未定式极限，由于不满足商的极限运算法则，不能直接用运算法则求极限，应当恒等变形.注意到x→2时，x≠2，即x-2≠0，可以分子、分母因式分解，消去分母的零因式（x-2），所以

（2）当x→∞时，分子、分母的极限都是无穷大，称为“”型的未定式极限，不能应用商的极限运算法则，应当恒等变形.注意到x→∞时，，可以分子、分母同除以x3，然后再应用极限的四则运算法则，所以

（3）当x→2时，都是无穷大，称为“∞-∞”型的未定式极限，不能应用差的极限运算法则，应当恒等变形.可以先对函数进行通分，将原式变为“”型的未定式极限，然后再应用题（1）的方法求极限，所以

例2（2）的一般性结论：当an≠0，bm≠0时，

注意

例2的三个极限有一个共同点：不能直接用极限的四则运算法则求极限，在此针对它们的各自特点采用相应的函数变形方法，将其化为定型极限.这种思想方法很重要.

思考：请总结例2的求三种未定型极限的方法，试用其思想方法求下列极限：

1.3.2　复合函数的极限运算法则

定理2　设函数y=f（g（x））由y=f（u）与u=g（x）复合而成，若，，则

【例3】　求极限.

解　这是复合函数的极限，中间变量u=sin x，因为内层函数的极限，外层函数的极限，故由定理2，.