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1.1 复数
问题提出
求实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)在b2-4ac<0时的解.
解法探究
对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac<0时,无实数解.要解决这一问题,需要扩充实数集,引入新数,使负数能够开方.这个新数就是本节所要介绍的复数.
必要知识
一、复数的有关概念
对于代数方程x2=-1,引入一个新数i,规定:i2=-1,并且i与实数可以按实数的四则运算法则进行运算.这个新数i称为虚数单位.
i与实数b相乘得到形如bi的数,若b≠0,则称bi为纯虚数;若b=0,则规定0·i=0.
如果a,b都是实数,那么形如a+bi的数称为复数;a称为复数的实部,b称为复数的虚部.a+bi形式称为复数的代数形式.
通常把复数构成的集合{z|z=a+bi,a∈R,b∈R}记为C,即
C={z|z=a+bi,a∈R,b∈R}.
显然,实数集R是复数集C的真子集,即R⊂C.
如果两个复数,实部相等,虚部互为相反数,则称两个复数互为共轭复数.
如复数z=a+bi,它的共轭复数记作,即
=a-bi.
如果两个复数a+bi与c+di相等,则两个复数的实部相等,虚部相等,即
a+bi=c+di⇔a=c,b=d.
注意 两个复数如果不全是实数,它们之间就不能比较大小.
二、复数的几何表示法
若规定,直角坐标平面内的横轴x为实轴(单位是1),纵轴y(不包含原点)为虚轴(单位是i),则复数a+bi就可用这样的坐标平面上的点M(a,b)来表示,见图1-1,因为复数a+bi与点M(a,b)是一一对应的.又因为点M(a,b)与向量也是一一对应关系,所以复数a+bi也可用向量
来表示.以后把表示复数的平面称为复平面.复平面内向量的模(即长度)称为复数的模或绝对值,即r=
=|a+bi|=
,向量
的正方向与x轴的正方向的夹角θ称为复数的辐角.在电类专业中,常把辐角θ限定在(-π,π]区间上,这时的辐角称为复数的主辐角.
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图1-1
求主辐角θ,应结合点M(a,b)所在象限,但值得注意的是复数零的辐角是不确定的.
三、复数的其他表示形式
如图1-1所示,由三角函数的定义知道
a=rcosθ,b=rsinθ.
所以
a+bi=rcosθ+irsinθ=r(cosθ+isinθ).
则称r(cosθ+isinθ)形式为复数三角形式,reiθ形式为复数的指数形式,形式为复数的极坐标形式.对于指数形式,辐角θ的单位只能采用弧度制.可见,模和辐角也能唯一确定一个复数.
复数的任意两种形式之间都能相互转化,即
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例1.1.1 在复平面内作出下列复数的点和向量,求出它们的模和主辐角,并写出它们的其他3种形式(见图1-2,图1-3).
(1)1-i;
(2)
解 (1)r=|1-i|=,tanθ=-1/1=-1,θ在第四象限,所以主辐角θ=-45°,则
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(2)r==2,tanθ=
θ在第二象限,所以主辐角θ=120°则
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图1-2
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图1-3
四、复数的运算
1. 复数代数形式的四则运算
设复数z1=a+bi,z2=c+di.
(1)复数的加减运算
z1±z2=(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.
(2)复数的乘法运算
z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.
(3)复数的除法运算
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例1.1.2 计算共轭复数a+bi与a-bi的和、差、积.
解 (a+bi)+(a-bi)=2a,(a+bi)-(a-bi)=2bi,
(a+bi)·(a-bi)=a2+b2.
例1.1.3 计算.
解
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2. 复数三角形式、指数形式和极坐标形式的乘除运算
设复数z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2).
(1)复数的乘法运算
三角形式表示
z1·z2=r1(cosθ1+isinθ1)·r2(cosθ2+isinθ2)
=r1·r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2)]
=r1·r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].
指数形式表示
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极坐标形式表示
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(2)复数的除法运算
三角形式表示
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指数形式表示
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极坐标形式表示
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例1.1.4 计算.
解 因为,θ在第一象限.
所以
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原式==
.
例1.1.5 计算
解
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五、复数的应用
前面已经知道,复数可用于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)在b2-4ac<0时的求解;此外,复数还能作为研究交流电路理论的重要工具,电压、电流等参量都可用复平面内的向量表示.
例1.1.6 如图1-4所示,已知R=100Ω,电感L=0.5H,频率f=60Hz,电容为C=30μF,计算复阻抗Z,并把结果化成复数的三角形式.
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图1-4
解 由交流电路理论知识,当交流电路中接入电阻、电容和电感后,电路中复阻抗Z可表示为
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则
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又因为
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所以复阻抗的三角形式为
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例1.1.7 解方程x2-8x+17=0.
解 判别式Δ=b2-4ac=64-68=-4<0,故方程在复数范围内有解.
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练习1.1
1. 在复平面内做出下列复数的点和向量,求出它们的模和主辐角,并写出它们的其他3种形式.
(1)-2+2i;
(2).
2. 实数m取何值时,复数(m2-3m+2)+(m2-5m-6)i是实数?是纯虚数?是虚数?
3. 计算下列各式的值,并把结果化为代数形式.
(1)[2(cos60°+isin60°)]3;
(2)(1-i)8;
(3);
(4).
4. 在复数范围内解方程x2-2x+10=0.
习题1.1
1. 实数x,y,如果z1=-2+i,z2=x+yi,求如下问题.
(1);
(2)如果=z2,那么实数x,y取何值?
2. 下列各式是不是复数的三角形式?如果不是,能否化成相应的三角形式?
(1);
(2)r(cosθ-isinθ)(r>0).
3. 计算下列各式的值,并把结果化为代数形式.
(1)[2(cos30°+isin30°)]5;
(2);
(3);
(4).
4. 在RLC串联谐振电路中,设元件值为R=1Ω,L=0.25H,C=1F,角频率ω=1弧度/秒,计算该电路的复阻抗Z.