2.1　基础理论

2.1.1　采样理论

作为连续信号和离散信号之间的桥梁，采样定理对于数字化的接收机至关重要。采样定理的内容是，在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔点上的值或样本来表示，并且可以用这些样本值把该信号全部恢复出来。与非均匀采样相比，均匀采样理论建立得更加完备且得到了广泛使用。均匀采样方法包括奈奎斯特采样、过采样、正交采样和带通采样。这里主要介绍奈奎斯特采样和带通采样理论。

1．奈奎斯特采样

奈奎斯特采样定理是美国物理学家奈奎斯特（Harry Nyquist）在1928年提出的，该定理说明了采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。奈奎斯特采样定理可以定义如下：

设是某一带限信号，在频率时，。如果采样频率，其中，T为采样周期，那么就唯一地由样本确定。

换言之，对带限模拟信号而言，采样定理要求采样频率至少为模拟信号最高频率的2倍，即。因此，2倍最高频率的采样速率被称为奈奎斯特采样率。以大于或者等于奈奎斯特采样率的采样速率对带限信号进行采样可以保证不产生频谱混叠现象，也因此可以对原始模拟信号进行精确重构。

2．带通采样

奈奎斯特采样定理只讨论频谱在基带的带限信号的采样问题，当时，也就是信号的最高频率远大于信号带宽时，如果继续使用奈奎斯特采样定理，由于定理要求采样率大于2倍的最高频率，这会导致采样率很高而难以实现，后续处理的速度也无法满足要求。

如果带限信号的频率分布在某一有限的频带上，理想的带通信号是指在低于频率以及高于频率时均没有信号的信号。此时是否可以使用奈奎斯特采样定理呢？答案是肯定的，为了解决这个问题，提出了带通采样定理。下面对带通采样定理进行说明。

对带宽为的带限模拟信号，以采样频率对该信号进行采样。其相应的频谱应为以的整数倍将信号的频谱进行搬移。若要求采样后的信号频谱不发生混叠，应满足

其中，m、n分别表示以采样频率周期延拓的整数值，保证了所有的搬移都不会使采样信号的频谱产生混迭，搬移后的某个边带的上限一定小于另一个边带的下限，反之亦然，如图2.1所示。

图2.1中正频分量搬移了，负频分量搬移了，由于采样后仍然为实信号，根据对称性只考虑在正频率分量的特性，此时且。可得

式（2-2）即为带通采样定理。令，在临界状况时，即各边带即将混迭的情况下，令式（2-2）取等号成立，则可得

即

式中，，取正整数。

同时不能无限小，采样率的最低要求为至少大于信号带宽的2倍。其实这个观点读者可以考虑，若将带通信号混频至零频，则根据奈奎斯特采样定理，要求，B为信号带宽。因此式（2-2）、式（2-3）需要进一步结合条件构成带通采样定理。即

可以看出，当k取0、=0时，得、，式（2-5）就是奈奎斯特采样定理，即。

从式（2-5）中可以进一步看出，当频带宽度一定时，为了可以采用2倍频带宽度处理速率进行采样，带通信号的中心频率必须满足

从式（2-6）中可以看出，为了使用最低采样速率进行带通采样，信号的最高频率和最低频率之和必须为信号带宽的奇数倍。

2.1.2　信号的抽取与插值

信号的抽取与插值是数字信号处理过程中经常使用的信号处理手段。信号的抽取可以降低信号的采样频率，从而使整个信号处理过程在低速状态下进行。信号的插值可以升高信号的采样频率，在数字信号处理后的信号恢复过程中起着至关重要的作用。

1．信号的抽取

设离散信号为，其中为采样周期，是采样频率的倒数。想要将采样频率降低M倍，最简单的方法就是对信号进行M倍的抽取，即每隔M个点抽取一个点，依次组成一个新的序列，即

则经过推导可以得到和的傅里叶变换有着如式（2-8）所示的关系

对于式（2-8），取可以得到抽取前后信号的z变换关系

式（2-9）又常写成式（2-10）的形式，即

由式（2-8）可以看出抽取前后信号的时频谱变换关系，假设M =2，则其频谱关系如图2.2所示。可以看出，抽取所得信号的频谱等于将原信号的频谱先做M倍的扩展，再在轴上做倍的移动，幅度降为原来信号的后再叠加。

由奈奎斯特采样定理可知，信号从模拟域采样到数字域的过程中，需要保证，则采样的结果不会发生频谱的混叠。对进行M倍抽取后，若想由抽取后的信号重建，则需要抽取后信号在一个周期内的频谱与的频谱做倍扩展后的频谱相同。因此，要求抽样频率必须满足。

随着M的变化，很难要求在不同的M下都能保证这一条件。因此，为了防止抽取后信号的频谱发生混叠，常用的方法是在对信号进行抽取前先进行低通滤波，压缩信号的频带，如图2.3所示。

2．信号的插值

同样，设离散信号为，要增加信号的采样频率，也就是将采样频率放大L倍变成，最简单的方法是将每两个点之间补L-1个零，补零之后的信号为

而的傅里叶变换则可以通过式（2-12）得出

从式（2-12）不难看出，插值后信号与原信号的傅里叶变换关系和z变换关系，即

从式（2-14）可以看出，在的范围内，的带宽被压缩为，同时产生了L-1个映像。取插值倍数L=2，图2.4给出了信号插值前后的时域和频域变化。

这些由于插入零值而产生的镜像不携带任何新信息，为了去除这些镜像，通常在插值结构的后面再加一个低通滤波器，如图2.5所示。

2.1.3　多相滤波器

信号的多相表示形式在数字信号处理中有着重要的作用。使用多相表示形式不但可以在抽样率转换的过程实现并行运算，大幅度提升运算能力，而且多相结构还是数字信号处理中的工具，经常用于理论的推导。

对数字信号处理中经常用到的数字滤波器而言，其单位冲激响应的z变换可以用多相形式表示，从而得到多相滤波器的结构。

假设给出数字滤波器的单位冲激响应，令，假定抽取倍数M =4，则有

由式（2-15）可以写出更一般的形式，令

记

则有

对于式（2-17），将记为数字滤波器单位冲激响应的多相分量，则有

考虑到为因果序列，式（2-15）到式（2-19）的求和都是从。其实对于任意一个序列而言，式中的求和上下限均可以扩展至。这种多相表示对FIR和IIR系统都是适用的。

2.1.4　调制滤波器组

通过时域调制实现对原型滤波器的频谱搬移，得到功率互补的各通道滤波器，常见的有复数调制滤波器组和余弦调制滤波器组。由于只需要设计原型滤波器，调制滤波器实现简单，并且可以通过多相滤波和FFT或IFFT运算降低计算复杂度。设为原型滤波器的系统响应，则DFT滤波器组的系统响应为

式中，。由式（2-20）可得

图2.6所示为DFT调制滤波器组的幅频响应，各个通道滤波器均为原型滤波器频域搬移的结果。

2.1.5　信号的正交变换理论

在现实世界中接触到的都是实信号，任何实信号的频谱都具有正负频率部分的幅度相等、相位相反的共轭对称性。所以实信号的频谱都是双边的，假设存在一种复信号，同时满足以下两个要求

式（2-22）中的是实信号，式（2-23）中的和分别为和对应的频谱。

对于任何实信号，必然存在一个与之对应的信号，同时满足式（2-22）和式（2-23）的条件。将复信号写成式（2-24）的形式，叫作解析信号，即

在式（2-24）中，和都是实信号，定义

我们把称为的希尔伯特（Hilbert）变换，记作

从式（2-26）可以看出，希尔伯特变换相当于一个正交滤波器，此变换输出的是和卷积的结果。所以，的希尔伯特变换就是让通过一个冲激响应为的线性滤波器，它的传输函数为

定义符号函数如下

因此，希尔伯特变换可以看作一个90°移相器，对所有频率分量的幅度响应都是1，对全部非负频率分量移相-90°，对所有负频率分量移相90°。希尔伯特变换具有如下性质

用极坐标表示复信号，则有

其中，是信号的瞬时幅度，表示为

是信号的瞬时相位，表示为

是信号的瞬时角频率，表示为

由以上分析可以看出，信号的各种瞬时信息可以根据信号的解析表达式提取出来，而关键在于求出信号的希尔伯特变换。解析表达式在信号分析和处理中有着特别普遍的运用。

2.1.6　数字下变频

希尔伯特变换对应的数字滤波器是IIR滤波器，它在工程中不便于实现。下面给出一个更简单的正交解调方法，即数字下变频。

假设采样后的信号为

展开后得到

其中，

和分别为信号的同相分量和正交分量。采样后信号乘以和即可提取出两个正交分量。正弦信号在时域相乘时，频谱上会产生和分量和差分量。其中，差分量为所需要的基带信号，需在后面加上一个滤波器将和分量滤除。为满足采样定理，采样得到的数据的速率一般较高，对后续信号处理提出较高要求；同时，由于一般只进行后续差分量的基带信号处理，信号带宽将变窄。因此，在滤波之后可加上抽取器，对信号进行抽取处理，从而降低信号的速率，减轻后续信号处理的压力，形成基本的数字接收机模型。基本的数字下变频接收机模型如图2.7所示，为的-90°移相，满足解析信号的定义。

2.1.7　宽带数字接收机设计的基本原理

宽带数字接收机设计面对的输入信号是高速ADC采集后的离散信号，对这样的信号进行处理主要从以下三方面进行考虑。

（1）高速采集信号的实时处理。宽带数字接收机设计的采样速率从几百兆赫兹到数吉赫兹，要对信号实现实时处理较为困难。因此，需要对信号进行降采样处理。

（2）信号带宽的需求。为保证信号的截获能力，信号的瞬时带宽要求设计得较高，但实际的接收信号带宽可能达不到接收机瞬时带宽的需求。如接收机带宽设计为几吉赫兹，但实际信号的带宽可能只有几十兆赫兹。

（3）接收机灵敏度的需求。根据前文的接收机灵敏度公式，较宽的接收机带宽达不到灵敏度的需求。因此，采用数字滤波器构造相对的窄带滤波器可以提高接收机的灵敏度。

从以上三方面，可以看出宽带数字接收机设计的出发点和依据：

● 宽带高速接收，即对高速采集到的信号实现宽带接收机设计。

● 窄带低速处理，即采用滤波、信道化设计实现低速窄带处理。

同时也要求数字接收机中的抽取操作尽量提前，以保证接收机满足硬件处理时钟的需求，保证接收机设计的实时性。

根据宽带数字接收机设计的需求，由于是对未知信号的盲接收，基本采用的原理就是对信号的频点可能出现的位置采用滤波技术，这样既提高了信号接收的灵敏度需求，又有助于降低系统的处理速度。对于这样的思想，采用的基本原理就是滤波加抽取，主要采用两种设计方案：

● 滤波、下变频、抽取设计。

● 下变频、滤波、抽取设计。

下面介绍两个方案的原理。

（1）滤波、下变频、抽取设计

设原型低通FIR滤波器的单位冲激响应为，滤波器长度为N。图2.8所示的第k个信道（或频带）的带通滤波器为，其频域响应为，为采样频率。

图2.9给出了滤波器设计示意，即依据信号的中心频率直接设计滤波器，该滤波器可采用对原型滤波器的移频设计。之后将滤波后的信号与混频搬移到基带，再采用抽取处理实现降采样。

（2）下变频、滤波、抽取设计

图2.10所示的第个信道（或频带）的信号先与混频搬移到基带，再通过原型滤波器实现滤波，将带外信号滤掉，再通过M倍抽取实现降采样。图2.11给出了该结构的滤波器设计示意。

原型滤波器应是具有线性相位且满足通带平坦特性的低通滤波器，，其幅频响应示意如图2.12所示，通带位于[0,），为均匀信道化结构所划分的信道数，在的情况下，，令为波动界限，则原型滤波器满足条件

宽带数字信道化接收机是将宽带中频信号划分为M个子信道，子信道的划分根据中频信号带宽及不同子带间的最小保护间隔来确定，不同系统的子带划分标准不同，而子信道划分的滤波器设计便要依靠原型滤波器。