2．2　振动的基本原理

一个物体或质点对应一个静止参考点作往复式运动，称为振动。物体振动时的运动轨迹，既可以是一条线，也可以是一条平面曲线或空间曲线。其中，空间曲线的振动是最复杂的，但仍可以看作是振动在三个坐标轴上的三个直线振动的合成。因此，直线振动是基本的振动。

2．2．1　简谐振动

2．2．1．1　简谐振动的特征

简谐振动既是一种最基本也是最简单的激振振动，同时也是一种周期振动，它可以视作一个物体或质点相对于基准位置作往复运动的，在一定的间隔时间T（周期）后，运动自身精确地重复。因此，周期振动可以用振动位移x（t）为时间t的函数关系用式（2－1）表示：x（t）＝x（t＋T）（2－1）

周期振动的波形形式各样，其中，单自由度体系正弦或余弦振动是周期振动中最简单的形式，也称为简谐振动。最典型的例子是单摆和弹簧悬挂重荷（质量—弹簧系统）的振动，单自由度简谐振动见图2－1。

把质点m的位移运动规律用时间作横坐标绘成曲线（见图2－2）。

在振动中两个相邻的、完全相同的运动状态所经过的时间，称为振动的周期，用T表示，也指完全振动一次所需的时间。周期的倒数称为频率f，即单位时间内完全振动的次数，其单位为Hz（赫兹），即1/s。

位移、速度和加速度等的不同量值可以用来表征振动的大小。对于简谐振动，各参量之间为对应时间的微分或积分的关系。如果位移用x表示，时间用t表示，则简谐振动可表示为：

式（2－3）也可写成：

简谐振动的数学关系式也可用余弦来表示。

如振动的初相位φ＝0，这时振动方程为：

显然，如果把振动过程用速度来表示，式（2－5）对时间求导可得：

vm＝ωxm＝2πfxm

同样，运动物体（或质点）的加速度是速度对时间的变化率，即是速度变化量与发生这一变化所用时间的比值，是描述物体速度变化快慢的物理量，也是位移对时间的二次导数。

由式（2－7）可以看出，在简谐振动中，其位移、速度和加速度的振动形式基本上是相似的，其周期也完全相同，只是相位角和幅值有所差别和不同。它们的相位角的关系是：速度超前位移π/2的（即90°）的相位角；加速度超前位移π（即180°）的相位角，也就是与位移振动方向相反。幅值xm、vm和am用以作为振动大小的特征量，可以看出：加速度幅值am、速度幅值vm与位移幅值之比分别等于ω2、ω。所以，对于ω较大的高频信号，加速度的幅值较之位移的幅值有很大的增加，有利于信号的检出。反之，对于当ω较小的低频信号，测试位移或者速度更为适当。

2．2．1．2　振动量的描述

每一个振动量对时间坐标作出的波形，可以得到峰值、峰峰值、有效值和平均绝对值等量值。

其中峰值是指一个周期内信号最高值或最低值到平均值之间差的值。一般来说，峰值对上下对称的信号才有定义。峰－峰值是指一个周期内信号最高值和最低值之间的差值，就是最大和最小之间的范围。它描述了信号值的变化范围的大小。有效值是指在一个周期内对信号平方后积分，再开方平均。

它们之间存在一定的关系。振动量的描述常用峰值表示，但在研究比较复杂的波形时，只用峰值描述振动过程是不够的。因为，峰值只能描述振动大小的瞬时值，不包含产生振动的时间过程。在考虑时间过程时的进一步描述，是平均绝对值和有效（均方根）值。

平均绝对值的定义为：

有效值定义为：

简谐振动波形峰值、有效值和平均绝对值见图2－3。

由图2－3可以看到，其实峰值等于峰－峰值的一半。其中，有效值因与振动的能量有直接关系，所以其使用较为普遍且使用价值较大。

2．2．1．3　简谐振动方程式

以图2－1所示的质量—弹簧振动系统为模型，如果忽略弹簧的质量，则根据达朗贝尔原理，可以得到无阻尼单自由度系统的自由振动运动方程式：

设则式（2－10）可写为：

式（2－11）为二阶常系数线性齐次微分方程，它的解为：

式（2－13）与式（2－4）比较，A即最大位移。这是简谐振动常用的一种简单形式通解，也是无阻尼自由振动的通解。

2．2．1．4　初位移和初速度对简谐振动的影响

实际振动物体在振动开始前通常具有初位移和初速度存在，它们对简谐振动的影响可以通过对上述方程的解进行讨论解决。方程式中的常数A1和A2，或者A与φ，都是解方程中的积分常数，它们由初始扰动所给予的初位移和初速度即自由振动的初始条件来确定。

设t＝0时，初速度为v0，初位移为x0，则由式（2－12）及其导数方程可求得：

于是有：

由式（2－19）可知，初位移x0和初速度v0决定了振幅A及初相位角φ。所以同一物体（质点）的简谐振动系统，由于初始条件不同，能够有各种振幅及各种初相位的振动，而振动频率却始终相同，这一点需要特别注意。

2．2．1．5　简谐振动的能量

因为质点在振动中具有速度，所以同时也具有动能Ev。

将v＝Aωcos（ωt＋φ）代入式（2－20），得：

因振动质点具有位移，所以还具有位能EK。位能可用弹簧力所做的功来度量，其值为：

将x＝Asin（ωt＋φ）代入式（2－22），得：

振动质点的总能量E是动能和位能之和，即：

考虑到mω2＝K，有：

即振动质量的总能量E与振幅A2及刚度系数K均成正比。

将ω2＝4π2　f2＝代入式（2－24），得：

可以看出，振动质点的总能量，除了与质量m成正比之外，还与频率f2和振幅A2成正比。

因此，质点因有速度而具有动能，因产生位移而具有势能，而动能和势能之和就是简谐振动的能量。

2．2．1．6　有衰减的自由振动

对于自由振动的体系中存在衰减时，在式（2－10）中就含有衰减项F：

衰减的种类有很多，最常见的有摩擦，如库仑摩擦：

F＝Nμ

式中　μ——摩擦系数。

由于式（2－26）求解非常困难，故一般采用黏性衰减，即：

式中　C——黏性衰减系数。

引入n＝C/（2　M），并对式（2－26）整理可得：

与无衰减自由振动同样，其通解为x（t）＝eλt，此时，式（2－28）的特征方程为：

根据判别式D＝4（n2－ω2），有：

（1）D＞0时：

（2）D＝0时：

（3）D＜0时：

对于绝大部分振动而言，D＜0，若令ωn＝有：

再令h＝n/ω（衰减比），在初始条件x（0）＝x0，（0）＝时，解可以表示为：

其中：

2．2．2　强制振动

强制振动是指在外部作用下的振动。根据作用的性质，外力可以是周期性或者是非周期性，可以是外力作用，也可以是支点位移作用。

2．2．2．1　周期性外力引起的强制振动

强制振动中最简单的场合是周期性外力F0sinω0t作用，根据达朗贝尔原理，有：

同样，可以得到：

式（2－38）的解有通解和特解组成，其中，通解为齐次方程也就是自由振动的解，即式（2－32）、式（2－33），而特解则为外力角频率的函数，可以假定为：

将式（2－39）代入式（2－37）后，可得关于a、b的联立方程：

再利用欧拉定理，可得：

所以，特解为：

其中：

因此，在h＜1时，x（t）的完全解是式（2－33）和式（2－42）的和。

2．2．2．2　周期性支点运动引起的强制振动

周期性支点振动引起的强制振动见图2－4。

振动系的支点产生周期性运动时，其运动方程式为：

为了求解上式，需要引入复数，令：

将式（2－46）代入式（2－43）后，可得到X与Z的关系：

最后可得：

计算结果见图2－5。

2．2．2．3　非周期外力引起的振动

在工程中最重要的非周期外力是脉冲（pulse），脉冲函数见图2－6。

冲击力可以表示为时间的积分：

当ε→0、＝1时，被称为Diracs　Delta函数，可表示为δ（t－ξ）。δ（t－ξ）具有如下性质：

在t＝0时，施加冲击力，实际上相当于给系统一个初速度v0（v0＝/m），之后系统的响应为自由振动：

因此，在任意外力F（t）作用下系统的响应可以表示为式（2－52）的卷积：