第五节 作用在曲面壁上的静水总压力计算
一、问题的提出
水工建筑物中，承受静水压力的面除平面外，还有曲面，如弧形闸门、拱坝坝面、闸墩和边墩等。由于曲面上的静水压强分布图为不规则图形，如图1-18（e）、（f）所示，因曲面上各点静水压强的方向垂直指向作用面，即曲面上各点的内法线方向，所以各点的压强互不平行，求平面壁静水总压力的方法这里不再适用，需要另辟蹊径求解。
下面，以弧形闸门为例，讨论作用在曲面壁上的静水总压力的大小、方向和作用点。
二、作用在曲面壁上的静水总压力计算分析
如图1-24（a）所示弧形闸门，假设其所受的静水总压力为P，它肯定垂直指向受压面（与通过作用点D位置的切线方向垂直），并指向转动轴中心O点，这里采用物理学中力的分解原则，先把静水总压力P分解为两个分力，即水平总压力Px和铅直总压力PZ［图1-24（a）］，并分别求出Px、Pz，再求合力P的方法，求解静水总压力。
另外，有时工程中不一定要计算出合力P，只要分别求出Px、Pz，就可以解决实际问题。为确定分力Px和Pz，先选取宽度为b（即闸门宽度）、截面为ABC的水体为脱离体，如图1-24（b）所示，研究该水体的平衡。
在图1-24（b）中，P′为闸门AB对水体的反作用力，与水对闸门的静水总压力P大小相等，方向相反；P′x、P′z为P′的水平分力和铅垂分力；PAC、PBC分别为作用在AC面和BC面的静水总压力；G为脱离体的水重。
图1-24
1.静水总压力的水平分力
因脱离体在水平方向是静止的，故水平方向的合力为零，即
根据作用力与反作用力大小相等、方向相反的原理，闸门受到的水平分力为
上式表明：作用于曲面壁上的静水总压力P的水平分力Px等于作用在该曲面的铅垂投影面积上的静水总压力。其铅垂投影面为矩形平面，故可利用确定矩形平面壁静水总压力的方法来求Px，即
式中 s——AB曲面的铅垂投影面上的静水压强分布图面积；
b——AB曲面的宽度。
2.静水总压力的铅垂分力
脱离体在铅垂方向是静止的，故铅垂方向合力为零，即
PBC为BC平面上受到的静水总压力。BC面为一等压面，其面积用ABC表示，所处水深为h2，故BC面上各点的压强都等于γh2，则
式中,VMCBN是以MCBN为底面积、b为高度的水体体积。
如以VACB表示以ACB为底面积、b为高度的水体体积，则重力G为
故
由作用力与反作用力大小相等的原理，得
式中,VMABN是以MABN为底面积、b为高度的水体体积，通称为“压力体”［图1-24（c）］。通常计算中，压力体体积用V表示，于是得
式（1-29）表明：曲面上静水总压力的铅垂分力等于压力体内的水重。其中压力体的体积V又等于压力体剖面图面积A剖与曲面宽度b的乘积。因此，正确绘制压力体剖面图，是求解铅垂分力Pz的关键。
图1-25中，绘制了几种弧形闸门不同受力情况的压力体剖面图形。从这些图形可以看出，压力体剖面图是由下列几条线围成的几何图形：
（1）顶面线，即水面线或水面线的延长线。
（2）底面线，即受压曲面剖面线自身。
（3）侧面线，即通过曲面剖面线两个端点向水面线或水面线的延长线所作的铅垂线。
关于垂直分力Pz的方向，应根据曲面与压力体的关系而定：当水体和压力体位于曲面的同一侧，即压力体内有水［图1-25(a)］时，Pz方向向下；当水体及压力体各在曲面之一侧，即压力体内无水［图1-25(b)］时，Pz方向向上。
图1-25
当曲面为凹凸相间的复杂柱面时，可在曲面与铅垂面相切处将曲面剖面线分段，分别绘出各部分的压力体剖面，并确定出各部分铅垂分力Pz的方向，然后再合成即可得出总的曲面的压力体［图1-25(d)］。
三、弧形闸门的静水总压力计算
弧形闸门的静水总压力计算任务依然是总压力大小、方向与作用点位置。
根据以上分析，Px、Pz求得后，总压力大小可根据力的合成法则求得，即
为了确定总压力P的方向，可以求出P的作用线与水平面的夹角α值［图1-24（a）］：
总压力作用点：总压力作用线和曲面的交点D即为总压力的作用点，称为压力中心。D在铅垂方向的位置以受压曲面曲率中心至该点的铅垂距离ZD表示。一般弧形闸门的面板为圆柱面的一部分，从图1-24（a）的三角形ODF可得
式中 R——圆柱面的半径。
综上所述，曲面壁静水总压力的计算步骤如下：
（1）先绘制压力体剖面图。
（2）计算静水总压力的水平分力Px，计算方法和矩形平面壁上静水总压力的计算方法相同。
（3）计算静水总压力的铅垂分力Pz，Pz等于压力体内的水重。
（4）计算其合力P，P=
。
（5）计算P的作用线与水平面的夹角α和压力中心D的位置ZD：
图1-26
根据曲面壁静水总压力的规律，很容易说明物体在水中所受浮力的大小。任意物体都可看作是由封闭曲面所包围的，封闭曲面上所受的静水总压力，即为物体所受的力。根据压力体定义，作用在封闭曲面上的静水总压力是铅直向上的浮力，其大小等于压力体内的水重。也即：物体在液体中所受的浮力，等于物体所排开的那部分液体的重量，这就是阿基米德原理。
【例1-9】 某坝顶弧形闸门（图1-26），门宽b=6m,弧的半径R=4m，闸门绕O轴旋转，O轴和水面在同一高程上。试求：当坝顶水头H=2m时，闸门上所受到的静水总压力。
水平分力
铅直分力
Pz=γ(扇形面积AOB-三角形面积BOC)b
已知BC=H=2m，OB=R=4m，故知∠AOB=φ=30°
扇形面积
三角形面积
则
总压力
总压力作用线与水平面的夹角
总压力的作用点D与轴心O铅直距离
