2.5.2　投资组合多期波动

单个资产的多期波动性受其序列自相关性的影响。然而，对于一个投资组合，单个资产的序列自相关性和不同资产之间的序列交叉相关性都会对其多期收益波动性产生影响。让我们首先考虑一个包含两种资产和两个周期的投资组合。使用式（2-20）的符号，我们得到

那么，

式（2-41）右边的方差是四个收益率项之和的方差。展开计算可得16个协方差项。形如cov（r₁₁，r₁₂）和cov（r₂₁，r₂₂）的协方差将涉及两种资产各自的序列自相关性。而形如cov（r₁₁，r₂₂）和cov（r₂₁，r₁₂）的协方差则涉及两种资产的序列交叉相关性。例如，cov（r₁₁，r₂₂）是资产1在周期1上的收益率与资产2在周期2上的收益率之间的协方差。

由式（2-41）展开得到的表达式相当烦琐。我们用收益率向量和协方差矩阵来进行推导。如本章前面所述，令r₁=（r₁₁，…，r_M1）′为周期1上的收益率向量，令r₂=（r₁₂，…，r_M2）′为周期2上的收益率向量，依此类推。令w=（w₁，…，w_M）′为组合权重。那么多期收益率的方差为

于是我们有

其中Σ〈H〉是r₁+…+r_H的协方差矩阵。协方差矩阵Σ〈H〉等于许多协方差矩阵的和：

最后，Σ_h，g是周期h上的收益率r_h与周期g上的收益率r_g之间的协方差矩阵。我们可以将它写作Σ_h，g=cov（r_h，r_g）。于是多期收益的方差就是

当两个下标相同时，两个收益率向量相同，跨期协方差矩阵就退化为普通的“同期”协方差矩阵，即Σ_h，g=Σ。在这种情况下，我们有w′Σw=σ²，这就是单期组合收益的波动率。因此

注意式（2-46）与式（2-38）形式类似。