第二节 生产要素的最适组合

假设王强是木材加工厂的老板，该厂的木材加工主要需要机器和工人。K代表机器的数量，L代表工人的数量。假设市场中存在无数的供给者和需求者，以至于工厂和工人都是价格接受者（Price Taker），那么工厂的利润如下：

其中p为产品的价格，w为工资，r为租金。pF（K，L）也称作工厂的收入（Revenue），wL+rK 称作成本（Cost）。工厂需要最大化利润。假设内点解（Inner Solution）的存在。简单的一阶条件可以写成：

已知资本和劳动的边际产出都递减，那么F（K，L）的二阶导数都小于零，保证了一阶条件为零的点，其利润是最大值。将两个一阶条件相除，可以获得：

消费者理论中的一阶条件可以归结为商品的边际替换率正好等于商品的价格比。如果厂商没有资金约束，那么可以从一阶条件直接解出K、L 的值。具有资金约束的时候，厂商的问题变为：

上述目标函数只是将消费者的效用函数换成了生产函数。求解过程和消费者效用最大化几乎一样，使用相切和切点在预算约束上两个条件。只是这样无助于进一步讨论厂商的成本函数。可以先写出它的对偶问题（Dual Problem），即在保证产量固定的前提下，厂商如何最小化生产成本。假设产量为q，厂商面对的问题为：

一方面，当处于最优解时，约束一定是紧的，即F（K，L）=q。否则，厂商可以在满足产量要求的前提下，减少一部分生产资料的使用。紧的约束说明是在最优值只可能出现在等产量曲线上。另一方面，等产量曲线和等支出曲线（）在最优值处必定相切。首先，两条线相离说明产量不等于q，因此是不可能的。其次，若两条线相交，则必然产生两个交点和交点之间的一段区域。在这个区域内的点（假设为A），在满足F（K，L）≥q 的同时，成本也更低。于是我们可以经过A点画出一条平行的成本线，与等产量曲线相交出新的两点和一段区域。我们可以继续找到A′点。这个过程进行到找不到这样的A点和区域为止。这时，等产量曲线和等支出曲线相切。

用（K₁，L₁）分别表示切点的横纵坐标。K₁和L₁是q的函数。于是可以得到成本函数的表达式：

图4-2 生产要素的选择

随着q的增加，K（q）和L（q）也需要增加。于是总的成本函数TC（q）也会增加。以下以柯布—道格拉斯生产函数（Cobb-Douglas Product Function）为例，重演一遍成本函数的推导过程。令生产函数等于F（K，L）=K^αL^β，α+β 不一定等于1。等产量曲线和等支出曲线的相切条件可以写为：

代入生产函数中，可以得到：

重新整理式子可以得到K的表达式：

由切点条件可以重新得到L的表达式：

成本函数可以从TC（q）=wL（q）+rK（q）获得：