任务四　能量方程的应用条件及应用举例

一、能量方程的应用条件及注意事项

1．应用条件

实际液体恒定总流的能量方程是水力学三大方程之一，能解决很多工程实际问题。从该方程的推导可以看出，能量方程式（3－11）有一定的适用范围，应满足以下条件：

（1）水流必须是恒定流、均质不可压缩，且总流量沿程不变。

（2）所取过水断面1—1、2—2应在均匀流或渐变流区域，符合断面上各点测压管水头等于常数，且作用的质量力只有重力等条件，但两个断面间可以是急变流。

（3）所取过水断面1—1和过水断面2—2之间，除了水头损失以外，没有其他机械能的输入与输出。

因总流能量方程中各项均指单位重量液体的能量，所以在水流有分支或汇入的情况下，仍可分别对每一支水流建立能量方程式。

对于汇流情况［见图3－8（a）］，可建立断面1—1与断面2—2和断面3—3与断面2—2的能量方程如下：

对于分流情况［见图3－8（b）］可建立断面1—1与断面2—2和断面1—1与断面3—3的能量方程如下：

2．注意事项

为了更方便快捷地应用能量方程解决实际问题，能量方程在应用时应注意以下几点：

（1）列能量方程必须按照“三选一列”的原则，“三选”，即选“1—1、2—2两个计算断面”、选“计算点”、选“基准面”，“一列”即对所选计算点列能量方程。

（2）基准面可以任意选取，但必须是水平面且方便计算。在同一方程中，对不同断面位置水头必须对应同一基准面。

（3）两个计算断面必须选在均匀流或渐变流段，而且要选在已知条件较多处。一般计算点选在水平面或管轴线上。

（4）为简化计算，一般采用相对压强，也可采用绝对压强，但必须保证方程两边压强标准一致。

（5）不同过水断面上的动能修正系数α是不相等的，且不等于1．0。但在实际计算中，对于均匀流和渐变流，一般α1＝α2＝1．0。

应用能量方程式还应具体问题具体分析，若方程中同时出现较多的未知量，　应考虑与其他方程联立求解。

【例3－3】　如图3－14所示为水流流经溢流坝前后的水流纵断面图。设坝的溢流段较长，上下游每米宽的流量相等。当坝顶水头为1．5m时，上游断面1—1的流速v1＝0．8m／s，坝址断面2—2的水深为0．42m，下游断面3—3处的水深为2．2m。

（1）分别求断面1—1、断面2—2、断面3—3处单位重量水体的势能、动能和总机械能。

（2）求断面1—1至断面2—2的水头损失和断面2—2至断面3—3的水头损失。

【解】　（1）列断面1—1和断面2—2连续性方程：

列断面1—1和断面3—3连续性方程：

以河床底部为基准面，计算点选在自由表面上，取α1＝α2＝α3＝1．0，计算每个断面能量。

断面1—1：

（2）计算水头损失：

【例3－4】　如图3－15所示为一变直径的管段AB，dA＝0．2m，dB＝0．4m，高差Az＝1．5m，今测得pA＝30kN／m2，pB＝40kN／m2，B点处断面平均流速vB＝1．5m／s，求A、B两断面的总水头差及管中水流流动方向。

【解】　由连续方程vAAA＝vBAB，得

A、B两断面总水头差为（以A点所在水平面为基准面）

因此，B点总水头大于A点总水头。水流从B向A流动。

【例3－5】　自流管从水库取水（见图3－16），已知H＝12m，管径d＝100mm，水头损失，求自流管流量Q。（忽略上下游水流流速）

【解】　取下游水面为基准面，取如图两个计算断面即断面1—1和断面2—2。

列断面1—1和断面2—2的能量方程：

3．知识延伸

在实际工程中，有时会遇到沿程两个断面有能量输入与输出的情况，如水泵向水流提供能量，把水提到一定高度，水轮机从水流获得能量，带动发电机发电等。

（1）有能量输入时的能量方程：如图3－17所示，在管道系统中有一水泵，水泵工作时，通过水泵叶片转动对水流做功，使水流能量增加。设单位重量水体通过水泵后所获得的外加能量为Ht，则总流的能量方程修改为

当不计上下游水池流速时，有

式中：z为上下游的水位差；hw1－2为断面1—1和断面2—2之间全部管道的水头损失。

单位时间内动力机械给予水泵的功称为水泵的轴功率Np；设单位时间内通过水泵的水流重量为γQ，所以水流在单位时间内由水泵获得的总能量为γQHt，称为水泵的有效功 率。由于水流通过水泵时有漏损和水头损失，再加上水泵本身的机械磨损，所以水泵的有效功率小于轴功率。两者的比值称为水泵的效率ηp，故

式中γ的单位是N／m3，Q的单位是m3／s，Ht的单位是m，Np的单位是W（即N·m／s）。

（2）有能量输出时的能量方程：如图3－18所示，在管道系统中有一水轮机，由于水流驱使水轮机转动 ．对水力机械做功，使水流能量减少。设单位重量水体给予水轮机能量为Ht，则总流的能量方程修改为

式中：Ht为水轮机的作用水；hw1－2为断面1—1和断面2—2之间全部管道的水头损失，但不包括水轮机系统内部的能量损失。

由水轮机主轴发出的功率又称为水轮机的出力Nt。单位时间内通过水轮机的水流重量为γQ，所以单位时间内水流对水轮机作用的总能量为γQHt。由于水流通过水轮机时有漏损和水头损失，再加上水轮机本身的机械磨损，所以水轮机的出力要小于水流给水轮机的功率。两者的比值称为水轮机的效率ηt，故

式中γ的单位是N／m3，Q的单位是m3／s，Ht的单位是m，Nt的单位是W（即N·m／s）。

二、能量方程应用举例

在实际工程中，某些水力要素无需利用基本公式来推算，而是可以直接用工程用仪器直接测出，下面我们就来介绍测量流速的毕托管和测量流量的文德里流量计。

1．毕托管测流速

毕托管是常用的测量流体点流速的仪器，用以测量流速水头和流速，它是亨利·毕托在1703年首创的，其测量流速的原理就是能量转化和守恒原理。若在运动液体（如管流）中放置一根测速管，如图3－19所示，它是弯成直角的两端开口的细管，一 端正对来流，置于测定点B处，另一端垂直向上。B点的运动质点由于测速管的阻滞，因而流速等于零，动能全部转化为压能，使得测速管中液面升高为。B点称为滞止点或驻点。在B点上游同一水平流线上相距很近的A 点未受测速管的影响。流速为u，其测压管高度可通过同一过水断面壁上的测压管测定。应用恒定流理想液体沿流线的伯努利方程于A、B两点，有

由此说明了流速水头等于测速管与测压管的液面差hw。这是流速水头几何意义的另一种解释。

根据这个原理，可将测压管与测速管组合制成一种测定点流速的仪器，称为毕托管。其构造如图3－20所示，其中与前端迎流孔相通的是测速管，与侧面顺流孔（一般有4～8个）相通的是测压管。考虑到实际液体从前端小孔至侧面小孔的黏性效应，还有毕托管放入后对流场的干扰，以及前端小孔实测到的测速管高度f不是一点的值，而是小孔截面的平均值，所以使用时应引入修正系数ζ，即式中ζ值由实验测定，一般约为0．98～1．0。

2．文德里流量计

文德里流量计是用于测量管道中流量大小的一种装置，包括收缩段、喉管和扩散段三部分，安装在需要测定流量的管道中。在收缩段进口前断面1—1和喉管断面2—2分别安装测压管，如图3－21所示。通过测量断面1—1和断面2—2测压管水头差值，就能计算出管道通过的流量Q，其原理就是恒定总流的能量方程。

取管轴线0—0为基准面，列断面1—1和断面 2—2 的能量方程（α1＝α2＝1．0），有

由于实际液体存在水头损失，将会使流量减小，因而应引入一系数加以修正，则实际流量公式为

式中：μ为流量系数，一般取0．95～0．98。

如果断面1—1和断面2—2的动水压强很大，这时可在文德里管上直接安装水银压差计，如图3－22所示。

由压差计原理可知

【例3－6】　如图3－23所示断面突然缩小的管道，已知d1＝200mm，d2＝150mm，Q＝50L／s，水银比压计读数h＝500mmHg，求hw。

【解】　渐变流端断面选为断面1—1和断面2—2。

建立能量方程：

（1）由连续方程计算得

（2）由水银比压计公式计算得