2．神秘的

我们现在来做几道更难的算术题。2乘2等于4,3乘3等于9,4乘4等于16,5乘5等于25。因此，4的平方根是2,9的平方根是3,16的平方根是4, 25的平方根是5[21]。

那么，一个负数也有平方根吗？类似 -5或 -1这样的表达式究竟是什么含义？

如果你试图以理性的思维方式来揣摩这个问题，无疑会得出结论：上述这些表达式毫无意义。在此不妨引用12世纪数学家婆什迦罗（Brahmin Bhaskara）的话：“正数的平方和负数的平方都是正数。因此一个正数的平方根有两个，一正一负；负数没有平方根，因为没有数的平方是负数。”

不过数学家们都是些固执的家伙，如果公式中不断冒出一些看似没有意义的东西，那么他们就会想方设法赋予它们意义。负数平方根的身影的确无处不在，无论是以前占用数学家精力的简单算术里，还是在20世纪相对论框架下的时空统一的问题里，它总是会出其不意地冒出来。

第一个把看似无意义的负数平方根写进方程，并记在纸上的勇者，是16世纪的意大利数学家卡尔达诺（Cardano）。在讨论能否把10拆分成两个乘积等于40的部分时，他表示，尽管这个问题得不出任何有理数解，但人们还是可以把答案写成两个不可能存在的数学表达式：和[22]。

虽然卡尔达诺认为这些东西毫无意义，是虚构的、想象的，但他还是把它们写了下来。

尽管负数的平方根是假想出来的，但既然有人写出了这些数，那么把10拆分成乘积等于40的两部分，这个问题也随之得以解答。卡尔达诺的破冰之旅，让负数平方根得名“虚数”（imaginary numbers）——卡尔达诺使用的修饰词，随后却被众多数学家越发频繁地使用。不过他们在使用虚数时，总是有所顾虑，也会找各种借口给自己开脱。

我们在德国著名数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）出版于1770年的代数著作中，发现了大量虚数的应用，不过他也在附言做了解释：“所有像、这样的表达式都是不存在的，或称之为虚数。因为它们代表了负数的平方根，这些数既不是零，也不是大于或小于零的数，所以说它们是虚构的，是不存在的。”

尽管伴有这些说词，虚数还是迅速成长为和分数、根式一样必不可少的数学元素。如今，如果不能使用它，几乎是举步维艰。

可以说，虚数家族是正常数字（我们称之为实数）虚构的镜像。就像人们以1为基础来构造所有实数一样，我们也可以将（通常记为i）作为虚数单位，构造出所有虚数。

不难看出，,，诸如此类。这样一来，每一个普通的实数都会有与之对应的虚数。人们还可以把实数和虚数结合起来，组成一个独立的表达式，如，这种混合的表达式通常被称为复数。

自成功踏入数学王国的两个世纪以来，虚数身上一直笼罩着一层神秘且不可信的面纱，直至两位业余数学家为它赋予了简单的几何学解释之后，这层面纱方才褪去。这两个人就是挪威的测绘员韦塞尔（Wessel）和巴黎的会计师罗伯特·阿尔冈（Robert Argand）。

根据二人的解释，像3+4i这样的复数就可以用图10来表示。其中，3对应于水平方向上的坐标，即横坐标，4对应于垂直方向上的坐标，即纵坐标。

事实上，所有实数（无论正负）都可以表示为横轴上的点，而所有的纯虚数都可以表示为纵轴上的点。比如说，当我们把横轴上代表实数3的点乘以虚数单位i，就会得到纯虚数3i，而它必然会落在纵轴上。因此，从几何学的角度来讲，用一个数乘以i，相当于让它对应的点在坐标轴内逆时针旋转90度。（见图10）

图10 用坐标表示数。

如果我们把3i再乘以i，就必须将它再逆时针转90度，这样得到的点就会重新回到横轴上，但它如今位于负数那一侧。因此，

3i×i=3×i2=-3，

或 i2=-1。

如此一来，“i的平方等于-1”这种表述，就比“旋转两个90度（两次都是逆时针旋转），转到相反的方向”要好理解得多。

当然，这个规则同样适用于复数，3+4i乘以i，就会得到：

（3+4i）i=3i+4i2=3i-4=-4+3i

从图10中可以立刻看到，-4+3i刚好是3+4i这个点绕原点逆时针旋转90度得来的。同理，一个数乘以-i就等于它绕原点顺时针旋转了90度，这个也可以从图10上看出来。

如果你依然觉得虚数有些神秘难懂，或许可以通过下面这个简单实用的问题更深入地了解它。

一个年轻的冒险家在曾祖父的遗物中发现了一张羊皮纸，上面记录着一段文字，讲述了在某地埋藏着宝藏：

“航行至北纬_____，西经_____[23]，你会发现一座荒岛。岛的北岸有一大片开阔的草地，上面立着一棵孤零零的橡树和一棵孤零零的松树[24]。在那里，你还会看见一个古老的绞刑架，我们曾在那里绞死过叛徒。你从绞刑架出发，数着步子走到那棵橡树旁。走到橡树的位置向右转一个直角，然后再走同样的步数，在这个位置钉一根桩子。现在，回到绞刑架处，数着步子走到松树旁。在松树那里，向左转一个直角，走同样的步数，再把另一个桩子钉在地上。宝藏就在两根桩子的正中间，挖出即是。”

羊皮纸上的指令清晰明确。于是，我们的这位年轻人租了一艘船，驶向南方的海域。他找到了那座岛、那块地、那棵橡树，还有那棵松树，但令他悲痛欲绝的是，绞刑架早已不见。那份藏宝图年代久远，由于风吹日晒雨淋，木头早已腐烂在泥土里，就连它原本的所在地也没留下任何痕迹。

这个富有冒险精神的年轻人陷入了绝望，他愤怒地在岛屿上到处乱挖。但是，所有的努力都徒劳无功，因为这座岛实在是太大了！最终，年轻人空手而归，而那些宝藏也许还原封不动地埋在岛上！

真是个悲惨的故事。不过，更悲惨的地方在于，但凡这个小伙子了解一些数学，尤其是了解虚数应用的话，他完全有可能找到宝藏。现在，就让我们来为他寻找到图上的宝藏吧！可惜的是，这对他而言早已于事无补了。

图11 虚数寻宝之旅。

我们把整座岛想象成一个复数平面。穿过两棵树的位置先作一条轴线（实轴），再以两棵树的中点为原点，垂直作另外一条轴线（虚轴），就像图11中画的那样。我们把两棵树距离的1/2作为实轴的单位长度，因此我们可以说，橡树在实轴上的坐标是-1，松树的坐标是+1。因为不知道绞刑架在哪里，所以我们用希腊文字母Γ（大写的γ）表示它的位置，因为它看上去就像是一个绞刑架。由于绞刑架不一定落在两条轴线上，所以我们必然要把Γ看作是一个复数：Γ=a+bi，其中a和b的含义参照图11所示。

现在，我们按照上面所说的虚数乘法规则，做一些简单的计算。如果绞刑架的位置是Γ，橡树的位置是-1，那么它们之间的距离和方向可以表示为（-1）-Γ，即-（1+Γ）。同理可得，绞刑架和松树之间的距离是1-Γ。根据虚数乘法的法则，为了将这两段距离分别按顺时针（向右）和逆时针（向左）转一个直角，我们需要将这两个距离分别乘以-i和i，以此求出两根桩子的位置：

第一根桩子：（-i）[-（1+Γ）]-1=i（1+Γ）-1

第二根桩子：（+i）（1-Γ）+1=i（1-Γ）+1

既然宝藏是在两根桩子的中间，那么我们必须找出上述两个复数之和的一半，从而得到：

现在可以看到，用Γ表示的绞刑架位置在计算过程中被消掉了，不管绞刑架在哪里，宝藏一定在+i点。

所以说，如果我们的年轻冒险家会做这道简单的数学运算，他就不需要把整个岛底朝天地挖上一遍，直接在图11画叉的位置挖掘就可以找到宝藏。

如果你仍然不相信不知道绞刑架的位置就能找到宝藏，那么你可以在一张纸上标出两棵树的位置，随意假设几个点当作绞刑架，再按照羊皮纸上的信息寻找宝藏。最后，你总是会来到相同的位置，而这个点就在复数平面+i所在的地方！

利用-1的平方根这个虚数，我们还能找到另一个不为人知的宝藏，那就是：我们日常生活的三维空间可以和时间组合在一起，构成一个符合四维几何学规律的四维图景！这个问题，我们会在接下来几章讨论阿尔伯特·爱因斯坦的思想及相对论时再做展开。

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[1] 为了佐证这一点，我再讲一个故事：一群匈牙利贵族在阿尔卑斯山脉登山时迷了路，其中有一个人拿出了地图，仔细钻研了好久，兴奋地大叫：“我知道我们在哪儿了！”“在哪儿啊？”“看见那边的那座大山了吗？我们现在就在它的山顶上。”

[2] 这个名词从旧荷兰语衍生而来，历史上曾用来指代“科伊科伊人”。因含有冒犯性，现已不建议使用。——编者注

[3] 以目前最大的望远镜所能探测到的全部宇宙空间计算。

[4] 阿基米德记数法的每一阶都是前一阶的一亿倍。——译注

[5] 希腊单位脚尺（Stadium）相当于606英尺6英寸，或188米。（Stadium这个词的另一个含义是体育场，传说古希腊建造体育场时，以赫拉克勒斯的脚来丈量，足足有600脚，因此得名。——译注）

[6] 用我们现在熟悉的记数方法表示，这个数字是：一千万 第二阶单位 第三阶单位 第四阶单位（10,000,000）×（10,000,000）×（10,000,000）×（10,000,000）×第五阶单位 第六阶单位 第七阶单位 第八阶单位（10,000,000）×（10,000,000）×（10,000,000）×（10,000,000），或是简单记为1063（即1后面63个0）。

[7] 根据2018年的观测数据，宇宙的观测半径在470亿光年左右，折合成英制约为3×1023英里。——译注

[8] 聪明的宰相要求的麦粒数可以写作：1+2+22+23+24+……+262+263。代数里将一系列以相同倍数（这个故事中的倍数是2）依次递增的数字叫作等比数列。可以证明，等比数列中所有数字之和，等于公比（此处是2）的项数次幂（此处是64）减去第一项（此处是1），再用这个结果除以公比减去1而得到的数。可以表示为：，得出结果就是18,446,744,073,709,551,615。

[9] 蒲式耳是欧美通用的容量单位（常用来计量农作物），美制的1蒲式耳约等于35.2升。——译注

[10] 摘自W. W. R．鲍尔，《数学游戏与欣赏》（Mathematical Recreations and Essays，麦克米伦出版公司，纽约，1939）。

[11] 如果我们只有7个圆盘，需要移动的次数就是：1+2+22+23+……26，或是27-1=2×2×2×2×2×2×2-1=127。如果移动的速度足够快，且中间没有犯错，完成这项任务大概需要一个钟头。如果是64个圆盘，所需的移动总次数就是：264-1=18,446,744,073,709,551,615次，这与西萨·班·达依尔要求的麦子数目一样多。

[12] 作者似乎是将闰年多出的天数折合进了每一年，一年取365.25天作为近似值。——译注

[13] 这段内容从未正式发表过，希尔伯特甚至没有将它写成文字，但它流传甚广。引自R．柯朗，《大卫·希尔伯特轶事全集》。

[14] 因为我们假定线段的长度是1，所以这些小数全都比1小。

[15] 比如0.735106822548312……这个数我们可以拆分为0.71853……、0.30241……和0.56282……。

[16] 埃拉托色尼（约前275—前193）古希腊哲学家、数学家、地理学家、历史学家、诗人、天文学家。

[17] 中国著名数学家陈景润（1933—1996）于1973年发表的著名论文《大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和》（即“1+2”），把几百年来人们未曾解决的哥德巴赫猜想的证明推进了很大的一步。

[18] 简单来说，一个数的自然对数近似等于它的常用对数乘以2.3026。

[19] 小学几何课堂里的毕达哥拉斯定理（即勾股定理——译者注）为其提供了证明：32+42=52。

[20] 利用丢番图的普遍规则（找到两个数a和b，满足2ab是一个完全平方数，然后令, , ，用简单的代数计算便可证明），我们能够创建一个满足条件的表格，开头几行如下：32+42=52（埃及三角形） 52+122=132 62+82=102 72+242=252 82+152=172 92+122=152 92+402=412 102+242=262

[21] 其他数字的平方根也不难计算，例如……，因为（2.236……）×（2.236……）=5.000……;=2.702，因为（2.702……）×（2.702……）=7.300……。

[22] 证明如下：，且。

[23] 为避免泄露天机，此处隐去了文字里的经纬度。

[24] 出于相同的考虑，树的种类也做了调整。一座藏有宝藏的热带岛屿上显然应该生长着许多其他类型的树。