2.1 认识正弦交流电

所谓正弦交流电电路，是指含有正弦电源（激励）而且电路各部分所产生的电压和电流（响应）均按正弦规律变化的电路。交流发电机所产生的电动势和正弦信号发生器所输出的信号电压，都是随时间按正弦规律变化的，它们是常用的正弦交流电源。在生产上和日常生活中所用的交流电，一般都是指正弦交流电。因此，正弦交流电路是电工学中很重要的一个部分。对本章中所讨论的一些基本概念、基本理论和基本分析方法，应很好地掌握，并能运用，为后面学习交流电动机、电器及电子技术打下理论基础。

一个直流理想电压源E作用于电路时，电路中的电压U和电流I是不随时间变化的，如图2-1a所示。即电压的大小和极性、电流的大小和方向都是不随时间变化的，这种恒定的电压电流统称为直流电量。

如果一个随时间按正弦规律变化的理想电压源e作用于电路，则电路中的电压u和电流i也将随时间按正弦规律变化，如图2-1b所示。电压u正负交替变化，说明电压u不仅大小随时间变化，而且实际极性也不断地随时间变化。同样，电流i的正负交替变化，说明电流的实际方向在不断地随时间变化。这种随时间按正弦规律周期性变化的电压（电流），称为正弦交流电压（电流）。正弦交流电压和电流常统称为正弦电量，简称为正弦量。

2.1.1 正弦交流电三要素

正弦量的特征表现在变化的快慢、大小及初始值3个方面，而它们分别由频率（或周期）、幅值（或有效值）和初相位来确定。所以频率、幅值和初相位就称为确定正弦量的三要素，也是正弦交流电的三要素。

1. 频率和周期

图2-2给出了一个正弦电压u的波形图，图中T为电压u变化一周所需的时间，称为周期，其单位为秒（s）。电压u每秒变化的周数为，称为频率，用f表示，即

频率的单位为赫[兹]（Hz）。我国和大多数国家都采用50Hz作为电力系统的供电频率，称为工业用电标准频率，简称工频。

正弦量变化的快慢除用周期和频率表示外，还可以用角频率ω来表示，它的单位为弧度每秒（rad/s）。因为一周期内经历了2π 弧度，如图2-2所示，因此角频率为

式（2-2）表明了正弦量的角频率ω与周期T、频率f之间的关系。ω、T、f都是表示正弦量变化快慢的物理量，只要知道其中的一个，就可求得另外两个量。

2. 幅值和有效值

在正弦量的表示中，称在任一瞬间的值为瞬时值，用小写字母表示，如u、i、e分别表示正弦电压、电流、电动势的瞬时值。而在瞬时值中的最大值则称为幅值，用带下标m的大写字母表示幅值，正弦电流、电压和电动势的幅值分别用I_m、U_m、E_m表示。

图2-2为正弦电压的波形图，它的数学表达式为

表达正弦量的大小不是用幅值，一般情况下都是用有效值来计量的。有效值是从电流的热效应来规定，一个周期性变化的电流i通过电阻R，在一个周期内产生的热量（以焦耳为单位）为

直流电流I流过同一电阻R，在T秒时间内产生的热量（以焦耳为单位）为

Q_d=Ri2T

如果周期电流i产生的热量Q_a与直流电流I产生的热量Q_d相等，则此直流电流的数值I称为周期电流i的有效值。因此周期电流i与其有效值I的关系为

由此可得周期电流i的有效值为

故有效值也称均方根值。

如果i为正弦电流，设i=I_msinωt，则其有效值为

按照规定，用不带下标的大写字母I、U、E分别表示正弦电流、正弦电压、正弦电动势的有效值。式（2-5）的结论同样适用于正弦电压和正弦电动势，即

在交流电路中，一般所讲电压或电流的大小都是指有效值。例如交流电压220V，就是说这个正弦交流电压的有效值为220V，其最大值为，即。一般交流电压表和交流电流表的读数，也是被测电量的有效值。输电、配电导线截面的大小也应按工作电流的有效值查表选用。

3. 初相位

正弦量是随时间变化而不断变化的，因此正弦量初始起点的不同，正弦量的初始值（t=0）就不同，到达幅值或特定值的时间也就不同。

图2-3正弦电流波形图的数学表达式为

式（2-6）中正弦函数的辐角（ωt+φ_i）称为正弦量的相位角，简称为相位。t=0时的相位角φ_i称为初相角或初相位。初相位的单位为弧度（rad），有时为方便也可用度（°）。习惯上把初相位的取值范围定为-π～+π。

在同一个正弦交流电路中，正弦电压u和正弦电流i的频率是相同的，但是初相位不一定相同，其波形如图2-4所示，u、i可分别表示为

u=U_msin（ωt+ψ_u）

i=I_msin（ωt+ψ_i）

初始相位分别是ψ_u、ψ_i。

两个同频率正弦量的相位角之差称为相位差，可用φ表示。

这里u、i的相位差为

即两个同频率正弦量的相位差等于它们的初相位之差。两个正弦量的相位差不为零，则说明它们不同时到达零值或最大值。

如图2-4所示，ψ_u>ψ_i，即φ>0，则电压u比电流i先到达正的最大值，就说电压u在相位上比电流i超前φ角，或者说电流i比电压u滞后φ角；若ψ_i<ψ_u，则说明φ<0，电流i超前电压u；若φ=0，则电流i与电压u同相。

两个同频率正弦量的初相位相同，相位差为零，则说这两个正弦量同相。例如在图2-5a中，电流i₁与i₂同相，它们同时到达零值或最大值。如果两个同频率正弦量的相位差180°，则说这两个正弦量反相。例如在图2-5b中，电流i₁与i₂反相，任一瞬时一个电流为正值，则另一个电流为负值。

2.1.2 电路元件在交流电路中的特性

在对交流电路分析时，就是确定电流和电压之间的相互关系，因此掌握单一元件（电阻、电容、电感）在电路中电压和电流的特性关系、其能量转换以及功率变化等问题，就可以对复杂的（组合）电路进行各种分析。

1. 电阻元件的交流电路特性

（1）电压和电流的特性关系

图2-8a是一个线性电阻元件的交流电路。电阻元件的电压电流关系由欧姆定律确定，在u、i参考方向一致时，两者的关系为

u=Ri

设电流为参考正弦量，即

则

由以上两式可见，在电阻元件的交流电路中，电流和电压是同相的。电压的幅值（或有效值）与电流的幅值（或有效值）之比值，就是电阻R。即

u、i的相位差为

φ=ψ_u-ψ_i=0

u、i的幅值关系为

U_m=RI_m

u、i的有效值关系为

U=RI

（2）功率

知道了电压与电流的变化规律和相互关系后，便可以计算出电路中的功率。在任意瞬间，电压瞬时值u与电流瞬时值i的乘积，称为瞬时功率，用小写字母p表示，即

由式（2-10）可以看出，瞬时功率p的变化频率是电源频率的两倍，其波形如图2-8d所示。P表示一个周期内电路消耗电能的平均速率，即瞬时功率的平均值，称为平均功率。在电阻元件电路中，平均功率为

电阻元件的平均功率等于电压电流有效值的乘积。由于电压有效值U=RI，所以

平均功率是电路中实际消耗的功率，又称为有功功率。电路实际消耗的电能等于平均功率乘以通电时间。

2. 电感元件的交流电路特性

（1）电压和电流特性关系

在u、i参考方向一致时，电感元件的电压电流关系为

在正弦交流电路中，若设电流i为参考正弦量，即

则

由以上两式可见，u、i为同频率的正弦量，可画出u、i的波形图和相量图，如图2-9b和c所示。

在电感元件电路中，电压u和电流i的大小和相位关系：

u、i的相位差为

即电感元件上电流i比电压u滞后90°。

u、i的幅值关系为

u、i的有效值关系为

即电压的幅值（或有效值）与电流的幅值（或有效值）之比值为X_L=ωL，式中X_L称为感抗，单位为欧[姆]。式（2-17）表明同一个电感线圈（L为定值）对不同频率的正弦电流表现出不同的感抗，频率越高，则感抗X_L越大。因此电感线圈对高频电流的阻碍作用大。

（2）功率

电感元件上u、i参考方向一致时，若

i=I_msinωt

则

u=U_msin（ωt+90°）

故电感元件上的瞬时功率为

在正弦交流电路中，电感元件与电源之间不停地有能量的往返交换。在一个周期内电感元件从电源取用的能量等于它归还给电源的能量，电感元件并不消耗能量，因此平均功率（即有功功率）为零。电感元件瞬时功率的最大值定义为无功功率，用Q_L表示。即

无功功率的单位为乏（var）或千乏（kvar）。

3. 电容元件的交流电路特性

（1）电压和电流特性关系

在u、i参考方向一致时，电容元件的电压电流关系为

在正弦交流电路中，若设电压u为参考正弦量，即

则

由以上两式可见，u、i为同频率的正弦量，可画出u、i的波形图和相量图，如图2-10b和c所示。

比较式（2-20）和式（2-21）可知电压u、i的大小和相位关系：

u、i的相位差为

即电容元件上电流i比电压u超前90°。

u、i的幅值关系为

u、i的有效值关系为

式中 X_C称为容抗，单位为欧[姆]。

式（2-25）表明，同一个电容器（C为定值）对不同频率的正弦电流表现出不同的容抗，频率越高，则容抗越小。因此，电容器对高频电流有较大的传导作用。

（2）功率

电容元件上u、i参考方向一致时，若

u=U_msinωt

则

i=I_msin（ωt+90°）

故电容元件上的瞬时功率为

在正弦交流电路中，电容元件与电源之间不停地有能量的往返交换，在一个周期内电容元件从电源取用的能量等于它送还给电源的电量，电容元件不消耗能量，因此平均功率为零。

我们也把电容元件瞬时功率的最大值定义为无功功率，用Q_C表示，其单位是乏（var）或千乏（kvar）。