2.1.6　残差分析

根据线性回归模型的经典假设条件，我们可以看到对残差的分析十分重要。对于残差-因变量估计的散点图来说，其可能存在的情况如图2-15所示。

1）从左上图的分布可以看到，残差在0两边随机分布，属于正常情况。

2）右上图中横轴X值增大，残差大小呈现明显的变化趋势。就该图而言，和存在非线性关系（读者可以思考一下在什么情况下，残差会出现这种趋势）。

3）左下图中，残差的方差随着横轴的值增大而增大，这种情况称为异方差，是线性回归模型中较常见的情况。其他情况包括方差逐步减小，或者先减小后增大等。

4）右下图中，随着X值的增加，残差呈周期变化，这种情况称为残差自相关。要检验是否存在残差自相关，我们可以使用Durbin-Watson检验（DW检验）。其原假设为：前后扰动项不存在相关性。当扰动项完全不相关时，DW值为2；当扰动项完全正相关时，DW值为0；当扰动项完全负相关时，DW值为4。我们希望DW值越接近2越好。

图2-15　残差分布的几种情况

针对残差不正常的情况，我们可以采用不同的处理方法。

1）X和Y为非线性关系：加入X的高阶形式，一般加X²已经足够。

2）异方差：横截面数据经常表现出异方差现象（本章案例就是），修正的方法有很多，比如加权最小二乘法、稳健回归，但是最简单的方法是对Y取自然对数。

3）自相关：分析时间序列和空间数据时经常遇到这种情况，复杂的处理方法是使用时间序列或空间计量方法分析，简单的处理方法是加入Y的一阶滞后项进行回归。横截面数据很少会有残差自相关的情况。