2.3.1 静止坐标系数学模型

类似于三相电动机各绕组轴线构成的自然坐标系数学模型的推导，结合电动机学中的磁场的双反应原理，推导建立定子六相绕组A～F的自感L_AA～L_FF表达式，结果如下：

式中，L_sm=（L_dm+L_qm）/2，L_rs=（L_dm-L_qm）/2，L_dm、L_qm分别为相绕组轴线与d轴、q轴重合时相绕组自感中的气隙主电感；L_sσ1为自感中的漏电感。

式（2-14）的具体推导过程以A相自感为例，并且为了便于读者理解考虑谐波平面机电能量转换的多相电动机数学模型，以下A相自感的推导考虑了谐波成分。根据电感的定义，考虑在A相绕组中流过激励电流i_A，产生与A相绕组匝链的总磁链ψ_A，则A相自感L_AA如下：

其中，总磁链由穿过气隙的气隙主磁链ψ_Am和漏磁链ψ_sσ1组成，气隙主磁链在d轴、q轴上的分量分别为ψ_dm，ψ_qm，根据图2-6中各变量之间的关系，在考虑各次谐波后A相绕组自感磁链可以进一步写为

电流在n次谐波平面d轴、q轴的分量（双反应分量）分别为

i _{dm n} =i_Acos（nθ_r）

所以根据式（2-15）～式（2-17），在考虑各次谐波后A相绕组自感可以进一步写为

式中，ψ_dmn=F_φncos（nθ_r）Nk_wn/R_sd，ψ_qmn=F_φnsin（nθ_r）Nk_wn/R_sq分别为n次气隙主磁链在d轴、q轴上的分量；R_sd，R_sq分别为相绕组磁路直、交轴磁阻；N为相绕组匝数；k_wn为n次谐波绕组系数；F_φn为n次谐波磁动势。L_smn=0.5（L_dmn+L_qmn），L_rsn=0.5（L_dmn-L_qmn）。第n次谐波d轴、q轴气隙主电感L_dmn，L_qmn分别如下：

式中，m为电流谐波次数；p为电动机磁极对数；I_m为电流幅值。

类似于绕组自感的推导，同样结合电动机学中双反应原理，推导建立各相绕组互感M_ij（i=A～F,j=A～F,且i≠j）的表达式如下：

将式（2-14）及式（2-21）～式（2-24）进一步用电感矩阵L表示如下：

式中，I₆为6×6的单位矩阵；L_DC，L_AC分别为与转子位置无关的电感分量系数矩阵和与转子位置有关的电感分量系数矩阵，分别如下：

把转子上幅值为ψ_f的永磁体磁链分别向A～F轴线进行投影，得到A～F相绕组耦合的永磁体磁链ψ_Af～ψ_Ff分别如下：

式（2-28）进一步对时间求导数，即可推导出A～F相绕组中的反电动势如下：

根据电动机学中磁路耦合原理分析可知，定子各相绕组磁链等于自感磁链、他相对其产生的互感磁链及永磁体耦合磁链之和，而绕组电流产生的自感磁链及互感磁链可以用上述公式推导出的电感与电流的乘积表示。所以，建立A～F相绕组磁链ψ_sA～ψ_sF的数学模型如下：

绕组电阻压降、绕组反电动势之和与绕组端电压u_sA～u_sF相平衡，从而建立绕组A～F的电压平衡方程式如下：

式中，R_s为定子相绕组电阻。

为了推导电磁转矩表达式，需建立多相电动机的磁共能表达式。假设电动机磁路为线性磁路，则六相永磁同步电动机的磁共能如下：

式中，i_s=［i_sAi_sBi_sC i_sD i_sE i_sF］T，ψ_r=［ψ_Af ψ_Bf ψ_Cf ψ_Df ψ_Ef ψ_Ff］T分别为定子电流及相绕组耦合永磁体磁链列矢量。式（2-32）两边对转子位置角的机械角求偏微分，得到电磁转矩T_e如下：

其中

由式（2-33）～式（2-35）可见，自然坐标系中电磁转矩与转子位置角有关，是时变参数变量；若电动机凸极现象不严重，则L_rs较小，磁路凸极现象带来的电磁转矩较小，电磁转矩主要由永磁体磁场与定子电流相互作用的结果构成。

与传统的三相电动机类似，当已知负载转矩T_L和传动链转动惯量J时，存在以下的运动方程式：

以上建立了A～F相自然坐标系下完整的电动机数学模型，该数学模型把实际电动机相绕组电路和磁链有机地联系在一起，是一种多变量、强耦合、高阶、非线性的数学模型，不利于电动机电磁转矩及磁场的瞬时控制策略的建立，必须进行简化、解耦处理。为此，采用坐标变换方法，把实际电动机模型映射到αβ机电能量转换平面和z₁～z₄零序轴系上。根据2.2节多相交流电动机多平面分解坐标变换理论，构建六相自然坐标系变量向αβz₁～z₄变换矩阵T₆，该变换同时遵循了变换前后系统功率不变的原则。

式（2-30）两边同时左乘变换矩阵T₆，得到αβz₁～z₄轴系下的定子磁链表达式如下：

其中，变量在αβz₁～z₄轴上分量用下角区分。

把式（2-25）、式（2-28）、式（2-37）和式（2-38）代入式（2-39）中，式（2-39）进一步推导得

式中，，分别为转子永磁磁链在αβ轴上的投影；i_sαβ=[i_sαi_sβ]T，ψ_rαβ=[ψ_rαψ_rβ]T，i_z=[i_sz1i_sz2i_sz3i_sz4]T；L_θr，L_z分别如下：

令ψ_s=［ψ_sα ψ_sβ］T，ψ_z=［ψ_sz1 ψ_sz2 ψ_sz3 ψ_sz4］T，则式（2-40）进一步简记为

式（2-31）两边同时左乘变换矩阵T₆，得到αβz₁～z₄轴系下的定子电压表达式如下：

考虑磁路线性情况下，电动机的磁共能如下：

式（2-45）磁共能表达式对转子位置机械角度求偏导数，得出电磁转矩如下：

从式（2-46）可见，正弦波六相对称绕组永磁同步电动机机电能量转换处于αβ平面上，电磁转矩是该平面上的定子磁链矢量与定子电流矢量的叉乘；而由式（2-44）进一步可见，αβ平面上定子磁链与该平面上的定子电压和定子电流有关，若忽略定子电阻压降，则αβ平面上的定子磁链直接由该平面定子电压控制。零序轴系不参与机电能量转换，其回路由定子电阻和漏电感构成。