2.1　变分问题经典实例

2.1.1　最速下降线

在17世纪末期，有一个重要的数学问题——最速下降线问题．它由数学家约翰·伯努利提出，探究的是如何求出一条曲线，使得一个质点在重力作用下沿着这条曲线从较高的位置下降到较低的位置所用的时间最短．形象地说，如图2-1所示，质点在重力作用下，从点A（0, 0）沿着何种曲线y=f（x）运动到点B（X, y（X）），才能使运动过程耗费的时间最短．

图2-1　最速下降线问题示意

建立如图2-1所示的坐标系，假设运动轨迹为y=f（x），从原点A（0, 0）出发的曲线长度为l.l=l[x（t）]，t为时间变量．

整个过程中只考虑重力作用，或者说只考虑重力的因素．质点从点A开始下滑，高度下降y之后的速度

这里的dl是曲线长度的微分，即弧微分（见1.1.2节）．另一方面，通过能量守恒定律可以推导出速度

式中，g为重力加速度．联列式（2-1）和式（2-2）得到质点从点A到点B的总耗时

这样，问题就归结到如何找到函数曲线y=f（x），使得式（2-3）中的总时间T最短．如果把这个积分看成一个泛函的话，就是寻找这个泛函的极小值“点”y=f（x），从而计算出极小值T．注意，这里的泛函

是非负的，Ly≥0，实际上是正的．那么，它的最小值也应该是非负的，从实际问题看，最小值应该是正的．这里，还需要将边界条件纳入考虑：