1.6 有界变差函数及Stieltjes积分

1.6.1 有界变差函数

有界变差函数在后面介绍随机积分与伊藤公式时将起到重要的作用，本节首先介绍有界变差函数的定义及性质.

定义1.6.1（有界变差函数） 设f（x）在［a，b］上有定义，将［a，b］分为n段，得一划分T，如果，则称f（x）在［a，b］上是有界变差函数，记，称其为f（x）在［a，b］上的全变差，其中表示对所得划分取上确界.为了定义函数f（x）在无界区间［a，+∞）上的全变差，我们要求，并规定

注：连续性对有界变差不起任何作用.

例1.6.1（连续函数不是有界变差函数的例子） 设

显然f（x）是［0，1］上的连续函数，对［0，1］按下列方法划分：

则，故，从而f（x）不是［0，1］上的有界变差函数.

下面介绍几个有界变差函数的判定定理.

定理1.6.1 设f（x）在［a，b］上每一点均为有限值，且f（x）为单调函数，则f（x）在［a，b］上为有界变差函数.

证明 对［a，b］的任一划分T，不妨设f（x）为单调增加函数，对任一划分T：a=x₀<x₁<…<x_n=b，则有

故，即=f（b）-f（a）＜∞.■

定理1.6.2 如果f（x）在［a，b］上满足如下条件，则f（x）在［a，b］上是有界变差函数：可将［a，b］分为有限个区间［a_k，a_k+1］，其中k=0，1，2，…，m-1，a₀=a，…，a_m=b，使f（x）在每个［a_k，a_k+1］上单调.

证明 对［a，b］的任一划分T，在T中加入分点得T′必有

将所有a_k加入划分T中，设得到的新划分为T′，则有

故

从而f（x）是［a，b］上的有界变差函数.■

定理1.6.3 如果f（x）在［a，b］上满足Lipschitz条件，则f（x）在［a，b］上是有界变差函数，且

证明 因为

从而＜∞.■

定理1.6.4 如果f（x）在[a，b]上可导，且≤L，则f（x）在[a，b]上是有界变差函数.

证明 由

知结论成立.■

定理1.6.5 如果f（x）在［a，b］上可表示为

其中，，则f（x）在[a，b]上是有界变差函数，且.

证明 因为

故，从而结论成立.■

定理1.6.6 任一有界变差函数是有界的.

证明 ∀x∈（a，b），则[a，x]与[x，b]构成[a，b]的一个划分T，从而有

所以

定理1.6.7 任意两个有界变差函数的和、差、积仍为有界变差函数.

证明 设h（x）=f（x）+g（x），则

从而

令P（x）=f（x）g（x），因为≤M，≤M，所以

故

定理1.6.8 设f（x）和g（x）均为有界变差函数，且，则也是有界变差函数.

证明 只需证明是有界变差函数即可，因为

故

从而是[a，b]上的有界变差函数.■

定理1.6.9 若f（x）在［a，c］，［c，b］上均为有界变差函数，则f（x）在［a，b］上也为有界变差函数，且.

证明 对［a，b］的任一点c，如果c不是分点，则将c加入使其成为分点，那么

故＜∞.

另外，

故，从而）.■

定理1.6.10 如果f（x）为[a，b]上的有界变差函数，则是[a，b]上的增函数.

证明 因为对任意x₁＜x₂，，从而.■

定理1.6.11 f（x）在[a，b]上为有界变差函数⇔∃有界单调递增函数F（x），使得∀x′＜x″，x′，x″∈[a，b]，均有≤F（x″）-F（x′）.称F（x）为强函数.

证明 “⇒”，若f（x）是有界变差函数，令，则g（x）是有界增函数.则.

“⇐”，由=F（b）-F（a）知，

从而f（x）是［a，b］上的有限变差函数. ■

定理1.6.12 f（x）是[a，b]上的有界变差函数⇔f（x）能表示为两个有界增函数的差，即存在两个有界增函数g（x）和h（x），使得f（x）=g（x）-h（x）.

证明 “⇒”，设强函数为F（x），令g（x）=F（x），h（x）=F（x）-f（x）.则f（x）=g（x）-h（x），g（x）是有界增函数.往证h（x）也是增函数.∀x₁＜x₂，因为

h（x₂）-h（x₁）=g（x₂）-f（x₂）-g（x₁）+f（x₁）

=[F（x₂）-F（x₁）]-[f（x₂）-f（x₁）]≥0

故h（x）是有界增函数.

“⇐”，令F（x）=g（x）+h（x），则F（x）是有界增函数，因为∀x₁＜x₂，

故F（x）是强函数，从而f（x）是有界变差函数.■

定理1.6.13[a，b]上的有界变差函数f（x）在[a，b]中任一点都有左极限与右极限.

证明 因为f（x）=h（x）-g（x），由于h（x），g（x）都是单调函数，故h（x），g（x）的左、右极限都存在，从而f（x）在［a，b］中任一点的左、右极限都存在. ■

下列结论的证明是容易的，请读者自己完成.

定理1.6.14 若f（x）是［a，b］上的有界变差函数，且f（x）在x₀上连续，则g（x）=也在x₀上连续.

定理1.6.15 若f（x）是［a，b］上的有界变差函数，且f（x）在［a，b］上连续，则存在两个连续增函数h（x），g（x），使得f（x）=g（x）-h（x）.

1.6.2 Stieltjes积分

下面我们介绍Stieltjes积分，它是由荷兰数学家Stieltjes建立的一种积分，故称为Stieltjes积分.它是Riemann（黎曼）积分的一种推广，在Riemann积分中，将dx推广为dg（x），且g（x）不一定可微，就成了Stieltjes积分.本节我们将介绍Stieltjes积分的定义及性质，在随机变量的数学期望、随机积分等内容中我们将大量使用Stieltjes积分的相关知识.

定义1.6.2（Stieltjes积分） 设f（x），g（x）是闭区间［a，b］上两个有界函数，任给［a，b］一个划分

T：a=x₀<x₁<…<x_n=b

和任意取点ζ_i∈［x_i-1，x_i］，i=1，2，…，n，作和，记

λ（T）=max{Δx₁，Δx₂，…，Δx_n}

若存在，且极限I与T的划分及ζ_i的选取无关，则称I为f（x）关于g（x）在[a，b]上的Stieltjes积分，记为.

注：dg（x）不是g（x）的微分，g（x）可能不可微.

有时为了区别Riemann积分，将Stieltjes积分记为.

下面我们讨论Stieltjes积分的可积性.

用M_k与m_k分别表示f（x）在［x_k-1，x_k］上的上确界与下确界.记

s（T）=∑m_kΔg（x_k），S（T）=∑M_kΔg（x_k）

分别为划分T对应的大和与小和.

当g（x）为［a，b］上的增函数时，s（T）和S（T）与黎曼积分的达布大和与达布小和有完全一样的结论.

定理1.6.16 若g（x）为[a，b]上的增函数，f（x）在[a，b]上有界，则存在的充要条件是对任一划分T，有=0，其中ω_k=M_k-m_k.

定理1.6.17 若f（x）在[a，b]上连续，g（x）是[a，b]上的有界变差函数，则存在.进一步，设g（x）=g₁（x）-g₂（x），其中，g₁（x），g₂（x）为增函数，则有

证明 因为

定理1.6.18 若函数存在，g（x）在[a，b]上满足Lipschitz条件，即∀a≤，有，其中L＞0为常数，则存在.

证明 首先，当g既满足Lipschitz条件又是增函数时，对任一划分T，有Δg（x_i）≤LΔx_i，从而

故有=0，从而存在.

其次，当g（x）仅满足Lipschitz条件时，令，因g₁（x）既是增函数又满足Lipschitz条件，故存在.又因为

故g₂（x）也满足Lipschitz条件，当x₁≤x₂时，

g₂（x₂）-g₂（x₁）=Lx₂-Lx₁+g（x₁）-g（x₂）

=L（x₂-x₁）-［g（x₂）-g（x₁）］≥0

故g₂（x）也是增函数，则有存在，从而存在.■

下面介绍Stieltjes积分的主要性质.

定理1.6.19 （1）设g（x）在[a，b]上处处有限，则=g（b）-g（a）；

（2）如果均存在，则

（3）如果均存在，则

（4）；

（5）若a＜c＜b，且都存在，则

注：若a＜c＜b，则由存在，不能推出存在.

例如，设，显然=0，=0（因为Δg（x_i）=0）.但不存在，事实上，对[-1，1]的任一划分，设0不是分点，且0∈（x_k-1，x_k），此时若取ζ_k=0，则=0，若另取ζ_k＞0，则=f（ζ_k）=1，故不可积.

定理1.6.20 若存在，f（x），g（x）是[a，b]上的有界函数，则也存在，且

证明 对［a，b］的任一个划分

T：a=x₀<x₁<…<x_n=b

由

考虑对［a，b］作分割T′：a≤ζ₁≤ζ₂≤…≤ζ_n≤b，即得新划分.显然有x_i∈［ζ_i，ζ_i+1］=［η_i，η_i+1］，i=1，2，…，n-1，且当λ（T）=max（x_i-x_i-1）→0时，λ（T′）≤2λ（T）→0.故由存在知，

即

所以

定理1.6.21 若f在［a，b］上Riemann可积，且存在［a，b］上Riemann可积函数φ（x），使g（x）=，则.

证明 先证可积.由φ（x）可积知≤L，从而

从而可积.下面证明.

当φ（x）为正时，

又因为

所以

故

当φ为一般函数时，令，则φ₁（t），φ₂（t）均非负，且，

证毕. ■

下面两个定理也是非常有用的，我们省去它们的证明.

定理1.6.22（中值定理） 设f（x）在［a，b］上有界，m≤f（x）≤M，g（x）在［a，b］上单调增加，且存在，则存在μ∈[m，M]，使

定理1.6.23 （1）设f_n（x）在［a，b］上连续，且f_n（x）在［a，b］上一致收敛于f（x），g（x）在[a，b]上是有界变差函数，则.

（2）设f（x）在［a，b］上连续，g_n（x）是一致有界变差的，即

且

则