1.2.2　函数的极限

数列中，n只能无限增大，即n→∞。但是对函数f(x)而言，自变量x有两种变化：（1）无限增大，即x→∞；（2）x无限接近某个常数x₀，即x→x₀。

1．当x→∞时，函数f(x)的极限

函数的自变量x→∞是指无限增大，它包含以下两种情况。

（1）x>0且无限增大，记为x→+∞；

（2）x<0且无限减小，记为x→-∞。

如果x不指定正负，只是无限增大，则记为x→∞。

【例1-12】　考察当x→∞时，的变化趋势。

解：如图1-16所示，当x→+∞和x→-∞时，，所以当x→∞时，有固定变化趋势，即。

与数列极限类似，我们称1为函数当x→∞时的极限。

定义1-9　如果当无限增大（x→∞）时，函数f(x)无限趋近于一个确定的常数A，则称常数A为函数f(x)当x→∞时的极限，记作

如果当x→∞时，f(x)不能趋近于一个确定的常数，则称x→∞时，函数f(x)极限不存在。

类似地，如果当x→+∞（或x→-∞）时，函数f(x)无限趋近于一个确定的常数A，则称A为函数f(x)当x→+∞（或x→-∞）时的极限，记作

简单函数的极限可以通过观察图像得到。

【例1-13】　求函数当x→-∞，x→+∞和x→∞时的极限。

解：绘制的函数图像，如图1-17所示。观察图像可以发现：

不存在，，不存在。

【例1-14】　求函数，当x→-∞，x→+∞和x→∞时的极限。

解：绘制的函数图像，如图1-18所示。观察图像可以发现：

2．当x→x₀时，函数f(x)的极限

除x→∞外，也可以无限趋近于某个常数，我们记

（1）表示x从小于x₀的方向无限趋近于x₀；

（2）表示x从大于x₀的方向无限趋近于x₀；

（3）x→x₀表示x从大于x₀和小于x₀的方向无限趋近于x₀。

需要说明的是，无论，还是x→x₀，都表示x从某个方向无限趋近于x₀，但x≠x₀。

【例1-15】　考察函数当x→1时的变化趋势。

解：，绘制函数图像如图1-19所示。观察图像发现：函数在x=1处没有定义，但当x无论从左侧还是右侧趋近于1时，曲线上的点(x, f(x))都会沿着曲线逐渐接近点(1,3)，此时f(x)的值无限趋近于3。所以，当x→1时，f(x)有固定的变化趋势，即。

将x分别取逐渐逼近1的两个数列，计算函数值并以表格的形式呈现，也可以得出同样的结论，如表1-3所示。

定义1-10　设函数f(x)在点x₀的某个去心邻域内有定义，如果当x→x₀（x≠x₀）时，函数f(x)无限趋近于一个确定的常数A，则称A为函数f(x)当x→x₀时的极限，记为

或

这里要注意x→x₀表示x无限趋近于x₀但x≠x₀。极限反映了x无限趋近于x₀的过程中f(x)的变化趋势，所以与x₀这一点处的函数值f(x₀)无关。即使在x₀处函数值不存在，极限也可能存在。根据极限定义有。

在上面的极限定义中，x→x₀表示x既可以从大于x₀的方向趋近于x₀，也可以从小于x₀的方向趋近于x₀。如果在x₀的左、右两侧趋近于x₀时，曲线上的点变化趋势不一致，就需要分开讨论。

定义1-11　如果时，函数f(x)无限趋近于一个确定的常数A，则称A为函数f(x)在x₀处的右极限，也可以说当从右侧趋近于x₀时f(x)的极限为A，记为

或

如果时，函数f(x)无限趋近于一个确定的常数A，则称A为函数f(x)在x₀处的左极限，也可以说当x从左侧趋近于x₀时f(x)的极限为A，记为

或

根据x→x₀时f(x)极限的定义和左、右极限的定义，容易得到以下定理。

定理1-1　的充分必要条件是。

由于分段函数在分界点左、右两侧的表达式不同，因此常用这个定理求分段函数在分界点处的极限。

【例1-16】　求下列函数在x₀=0处的极限。

（1）

（2）

解：（1）绘制函数图像如图1-20所示。x₀=0是分段函数f(x)的分界点，且左、右两边的趋近方式不同，所以分别讨论左、右极限。，。因此，，所以不存在。

（2）绘制函数图像如图1-21所示，x₀=0是分段函数g(x)的分界点，且左、右两边的趋近方式不同，所以分别讨论左、右极限。，。因此，，根据定理1-1得。