2.1 谓词逻辑的基本概念

2.1.1 个体词和谓词

在谓词逻辑中，要将原子命题分解成个体词和谓词两部分。

定义2.1.1 个体是指可以独立存在的客体，可以是一个具体的事物或抽象的概念，是原子命题所描述的对象。谓词用来说明个体的性质或个体间的关系。

例如，对于原子命题“小王是一个大学生”，“小王”是个体词，“……是一个大学生”是谓词，说明个体的性质；而对于原子命题“3大于2”，“3”和“2”是个体词，“……大于……”是谓词，说明个体词间的关系。

用谓词逻辑表达命题，要包括表示个体的字母和表示谓词的字母两部分。通常用大写英文字母表示谓词，用小写英文字母表示个体词。一般地，形如“b是A”类型的命题可表达为A（b）；表示多个个体间关系的命题，如“a大于b”可表达为B（a，b），B是“……大于……”，而“点a位于点b和点c之间”可表达为P（a，b，c），P是“……位于……和……之间”。

定义2.1.2 和一个个体相联系的谓词称为一元谓词，和两个个体相联系的谓词称为二元谓词，和n个个体相联系的谓词称为n元谓词。个体常元表示具体的或特定的个体，用a，b，c，…表示个体常元；个体变元表示抽象的或泛指的个体，用x，y，z，…表示个体变元。表示具体性质或关系的谓词称为谓词常项，表示抽象或泛指的谓词称为谓词变项，都是用大写英文字母如P，Q，R，…表示。通常根据上下文来区分P，Q，R，…表示的是谓词常项还是谓词变项。

定义2.1.3 一个原子命题可以用一个谓词常项P和几个个体常元，如a，b，c，…，表示成P（a，b，c，…）的形式。称P（a，b，c，…）为原子命题或命题的谓词表达式。一个谓词常项P和几个个体变元如x，y，z，…表示成P（x，y，z，…）的形式，称为命题函数，其中的个体变元可以代表任意一个个体。

命题的谓词表达式和命题函数是不同的。命题的谓词表达式是有真值的，命题函数的真值是不确定的，例如A（x）表示x是个大学生，真值是不确定的，不是命题。当b表示小王，A（b）表示命题：“小王是个大学生”，A（b）是命题的谓词表达式。

例2.1.1 写出下列命题的谓词表达式。

1）小赵不是工人。

2）小丽是非常聪明和美丽的。

3）若小明是高中生，则小明不是大学生。

4）2是偶数，4是偶数，则2+4也是偶数。

5）小丽是王老师和李老师的孩子。

解 1）设A（x）：x是工人，a：小赵。则命题符号化为

2）设A（x）表示x是聪明的，B（x）表示x是美丽的，a表示小丽，则命题符号化为

A(a)∧B(a)

3）设A（x）表示x是高中生，B（x）表示x是大学生，a表示小明，则命题符号化为

4）设A（x）表示x是偶数，B（x,y）表示x+y是偶数，a表示2，b：4。则命题符号化为

A（a）∧A（b）→B（a，b）

5）设Q（x，y，z）表示z是y和x的孩子，a表示小丽，b表示王老师，c表示李老师，则命题符号化为

Q(c，b，a)

从上面的例题可以看出，谓词中个体的顺序是十分重要的，不能随意改变，如命题Q（c，b，a）为真，但命题Q（a，b，c）为假。

一个n元谓词不是一个命题。命题的谓词表达式是用具体的个体名称取代命题函数的个体变元。命题函数的个体变元可以用个体域中的任意个体取代。事实上，个体变元在哪些范围取值及取什么值，对是否成为命题及命题的真值有很大影响。例如，A（x）表示x是大学生。如果x的取值范围是某大学班级中的学生，则A（x）是永真式。如果x的取值范围是某中学班级中的学生，则A（x）是永假式。如果x的取值范围是单位的员工，其中有些是大学生，有些不是大学生，则对有些人A（x）为真，对有些人A（x）为假。

◀

定义2.1.4 命题函数中，个体变元的取值范围称为个体域或论述域。

个体域可以是有限的，也可以是无限的。把宇宙中的一切事物作为对象的集合称为全总个体域。通常，没有特别说明时，个体变元的论述域是指全总个体域。

例2.1.2 设F（x,y,z）:4x+y-3z≤0，G（x,y）：x>y，求F（3,4,5）∧G（3,4）和F（2,1,3）∧G（2,1）的真值。

解 F（3,4,5）:12+4-15≤0，真值为0，G（3，4）：3>4，真值为0，所以F（3,4,5）∧G（3,4）为假。F（2,1,3）：8+1-9≤0，真值为1，G（2，1）：2>1，真值为1，所以F（2,1,3）∧G（2,1）为真。

◀

例2.1.3 给出执行语句“If P（x）then x:=3”以后x的值，其中P（x）为语句“x<3”，且执行到该语句时x的值如下。

1）x=4 2）x=3 3）x=1

解 1）执行到语句“If P（x）then x:=3”时，若x=4，P（x）为语句“4<3”，真值为0，不执行赋值语句“x:=3”，所以x=4。

2）执行到语句“If P（x）then x:=3”时，若x=3，P（x）为语句“3<3”，真值为0，不执行赋值语句“x:=3”，所以x=3。

3）执行到语句“If P（x）then x:=3”时，若x=1，P（x）为语句“1<3”，真值为1，执行赋值语句“x:=3”，所以x=3。

◀