2.2　几何曲线的作图

2.2.1　椭圆

2.2.1.1　已知长、短轴，作椭圆

（1）已知椭圆的长轴AB、短轴CD，作椭圆

如图2-42所示，作图步骤:

① 以长、短轴为直径作两个同心辅助圆;

② 在两辅助圆上作出对应的等分点，如1、2、3、…及1'、2'、3'、…（等分数量随精确度要求而定）;

③ 从等分点1'、2'、3'、…作铅垂线，从等分点1、2、3、…作水平线;

④ 各铅垂线与其对应的水平线的交点P1、P2、P3、…即椭圆曲线上的点，依次连接各点得椭圆。

（2）已知椭圆长、短轴为AB、CD，找出椭圆的焦点后，再作椭圆

如图2-43所示，作图步骤:

① 以短轴端点D为圆心，R=AB为半径作辅助圆与AB交于点F1、F2（即为焦点）;

② 将OF1、OF2分为相应的若干分段，如F11、12、23、…及F21'、1'2'、2'3'、…（靠近F1、F2处分段宜较密）;

③ 以F1为圆心，依次以A1、A2、…为半径作弧;以F2为圆心，依次以B1、B2、…为半径作弧;

④ 两对应弧的交点P1、P2、P3、…即为椭圆弧上点，依次连接各点得椭圆。

（3）已知椭圆的长、短轴AB、CD，用四心扁圆的方法作椭圆（近似作图）

如图2-44所示，作图步骤:

① 在短轴CD线上取OK=OA，得点K;

② 连接A、C，在AC线上取CK'=CK，得点K';

③ 作AK'的中垂线，交OA于点O1，交OD于点O2;

④ 作点O2、O1对称于长、短轴线的对称点O4、O3;

⑤ 以点O1、O2、O3、O4为圆心，分别以O1A、O2C、O3B、O4D为半径作四段圆弧，即为近似椭圆。

2.2.1.2　已知共轭轴，作椭圆

方法1，如图2-45（a）所示。

作图步骤:

① 以共轭轴MM1为直径作辅助圆;

② 过MM1上的各点1、2、3、…作MM1的垂线与辅助圆相交于点1'、2'、3'、…;

③ 连接过圆心O所作垂线的交点5'与另一共轭轴NN1的端点N;

④ 过点1'、2'、3'、…作5'N的平行线，过1、2、3、…作NN1的平行线，相应两平行线的交点P1、P2、P3、…即为椭圆上的点，依次连接各点得椭圆。

方法2，如图2-45（b）所示。

作图步骤:

① 过共轭轴的各端点N、N1、M、M1作平行四边形EFGH（其对边分别平行于MM1及NN1）;

② 在OM、OM1及其相邻边HM、GM1上作同数目的等分点1、2、3、…及1'、2'、3'、…;

③ 从NN1的一个端点N1出发，过MM1上的等分点1、2、3、4、5、6作射线;再从另一端N出发向HM，GM1各等分点1'、2'、3'、4'、5'、6'作射线。两组射线中两相应射线的交点P1、P2、P3、…即为椭圆线上的点，依次连接各点得椭圆。

2.2.1.3　确定椭圆长、短轴的方向和大小

（1）已知椭圆O，求椭圆的长、短轴

如图2-46（a）所示，作图步骤:

① 以点O为圆心，任作一圆与椭圆相交于点1、2、3、4;

② 矩形1234的对称中心线即为椭圆的长、短轴方向，与椭圆曲线的交点的连线AD、BC即为椭圆的长、短轴。

（2）已知椭圆的共轭轴MM1、NN1，求作长、短轴

如图2-46（b）所示，作图步骤:

① 作OE⊥MM1，并使OE=OM;

② 连接E及N1，以EN1的中点S为圆心，OS为半径作弧，与EN1的延长线相交于G、K两点;

③ OG为椭圆的长轴方向，长轴的长度为2EG;OK为短轴方向，其长度为2KE。

2.2.1.4　作椭圆的切线及法线

（1）已知椭圆及线上一点T，过点T作椭圆的法线和切线

如图2-47所示，作图步骤:

① 以短轴端点C为圆心，OA为半径作弧，交AB于点F1、F2（即为焦点）;

② 连接F1、T和F2、T;

③ 作∠F1TF2的角平分线，即椭圆上点T处的法线;

④ 过点T作法线的垂线，即为椭圆切线。

（2）已知椭圆及椭圆外一点S，过S作椭圆的法线

如图2-48所示，作图步骤:

① 以短轴端点C为圆心，OA为半径作弧，交AB于F1、F2（即焦点）;

② 作连线F1S及F2S，分别与椭圆交于M及N;

③ 两连线F1N及F2M相交于K，KS即为所求的法线。

（3）已知椭圆及椭圆外一点S，过S作椭圆的切线

如图2-49所示，作图步骤:

① 以短轴端点C为圆心，OA为半径作弧，交AB于点F1、F2（即为焦点）;

② 以F2为圆心，长轴AB为半径作弧;

③ 以S为圆心，SF1为半径做弧，两弧相交于K;

④ KF2与椭圆相交于点T，连接S、T，直线ST即为椭圆切线。

2.2.1.5　作椭圆的展开长度

如图2-50所示，作图步骤:

① 求出椭圆的一个焦点F2;

② 连接椭圆长、短轴端点D、A;

③ 过F1作F1E⊥DA，在DA延长线上量取AS=1.5AE;

④ 以点S为圆心、SD为半径作弧，与过点A所作铅垂线（切线）相交于点K，AK即为AD曲线段展开长度（近似）。

2.2.2　抛物线

2.2.2.1　已知准线及焦点作抛物线

如图2-51所示，作图步骤:

① 过焦点F作对称轴AK垂直于准线MN;

② 求出抛物线的顶点O，AO=AF;

③ 在OK之间任作分点1、2、3、…;

④ 过各分点作l1、l2、l3、…垂直于AK;

⑤ 以F为圆心，依次以A1、A2、A3、…为半径作弧，与l1、l2、l3、…相交，连接交点P1、P2、P3、…即为所求的抛物线。

2.2.2.2　已知对称轴、顶点及曲线上一点，作抛物线

方法1，如图2-52（a）所示，作图步骤:

① 过曲线上的已知点D及顶点O分别作直线平行及垂直于对称轴线OK，两直线相交于点B;

② 在OB及BD上作出相同数量的等分点;

③ 以点O为中心，向BD线上的各分点1'、2'、3'、…作射线;

④ 过OB线上的各分点1、2、3、…作BD的平行线;

⑤ 两组直线中相应两线的交点P1、P2、P3、…即为所求的抛物线上的点。

方法2，如图2-52（b）所示，作图步骤:

① 过已知点D作OK的垂线，与OK相交于点E;

② 在DE的延长线上取点D关于OK的对称点D';

③ 在OE和DE两线上作出相同数量的等分点;

④ 以点D'为中心，向OE上的各分点1'、2'、3'、…作射线;

⑤ 过ED上的各分点1、2、3、…作OE的平行线，两组直线中相应两线的交点即为抛物线上的点。

2.2.2.3　已知与抛物线相切的两线段，作抛物线

已知SA、SB为抛物线的两切线，作抛物线，如图2-53所示。

作图步骤:

① 在切线SA、SB上作出相同数量的等分点;

② 如图所示将各点进行编号;

③ 依次用直线连接相应序号的点;

④ 作各连线的包络线即得所求抛物线，A、B两点为切点。

2.2.2.4　作抛物线的切线

（1）已知抛物线，焦点为F，准线为MN，抛物线上点T，过点T作抛物线的切线

如图2-54所示，作图步骤:

① 过T作直线TE垂直于准线MN;

② 连接已知点T及焦点F;

③ 作∠ETF的角平分线，此角平分线即为所求切线。

（2）已知抛物线及其上一点T，过点T作抛物线的切线并求曲线焦点F

如图2-55所示，作图步骤:

① 由已知点T作直线TE垂直于对称轴线;

② 在轴线上自顶点O量取OK=OE;

③ 连接点K、T，KT即为所求切线;

④ 作切线KT的垂直平分线与对称轴线相交于点F，点F即为焦点。

（3）已知抛物线及抛物线外一点S，作抛物线的切线

如图2-56所示，作图步骤:

① 以点S为圆心，SF为半径作弧，交准线MN于点B1、B2;

② 过点B1、B2分别作直线平行于对称轴线，并与曲线相交于点T1、T2;

③ 连接点S、T1和点S、T2，ST1及ST2即为所求的切线。

2.2.3　双曲线

2.2.3.1　已知双曲线的实半轴a及虚半轴b，作双曲线

如图2-57所示，作图步骤:

① 根据c=的关系作图，求出焦点F1、F2;

② 从焦点向外任作若干分点1、2、3、…;

③ 分别以点F1、F2为圆心，以曲线两顶点A、B到某一分点的距离为半径（及RB3）作两弧;

④ 相应两弧的交点（如P3）即为曲线上的点。

2.2.3.2　已知双曲线上的一点及渐近线，作双曲线

如图2-58所示，作图步骤:

① 过已知点P作渐近线l1和l2的平行线l'1和l'2;

② 在l'1或l'2上，如l'2上任取1、2、3、…;

③ 自l1与l2的交点O依次与各分点作连线，与另一平行线l'1相交于相应的分点1'、2'、3'、…;

④ 自l'2上各分点作线平行于l'1，自l'1上各分点作线平行于l'2;

⑤ 连接各对相应平行线的交点P1、P2、P3、…，即得所求双曲线的一支。

2.2.3.3　作双曲线的切线

（1）已知双曲线及其上一点P，过点P作双曲线的切线

如图2-59所示，作图步骤:

① 作点P与两个焦点F1、F2的连线;

② 作∠F1PF2的角平分线即为所求的切线。

（2）已知双曲线及双曲线外一点S，过S作双曲线的切线

如图2-60所示，作图步骤:

① 以S为圆心，SF1为半径作辅助圆，以F2为圆心，以双曲线两顶点的距离AB为半径作辅助圆，两辅助圆相交于点1、2;

② 连接F2和1与曲线交于T1，连接F2和2与曲线交于T2，点T1、T2即为所求切点。

2.2.4　渐开线

2.2.4.1　圆的渐开线

如图2-61所示，作图步骤:

① 在基圆上作出若干等分点（图示为12等分）;

② 自每个等分点作基圆的切线。在点12处的切线上量取基圆的展开长度πD，并在此切线上作出同样数量的等分点（12等分）;

③ 在基圆的每条切线上量取相应的圆弧展开长度，得到相应的点1'、2'、3'、…12'，连接各点即为所求圆的渐开线。

2.2.4.2　多边形的渐开线

如图2-62所示，图为正五边形，作图步骤:

① 自各顶点向同一侧延长各边;

② 自某一顶点开始（图为顶点1），依次以边长的1倍、2倍…为半径在相应各边的延长线之间作圆弧，即构成正五边形的渐开线。

2.2.4.3　渐开线的切线

（1）过圆的渐开线上一点T作切线

如图2-63所示，作图步骤:

① 过点T作一辅助线与基圆相切;

② 自T点作辅助线的垂线，该垂线即为所求的切线。

（2）过正五边形的渐开线上一点T作切线

如图2-64所示，作图步骤:

① 延长正五边形的各边至渐开线，分析已知点T所在圆弧段的圆心O;

② 作T与该圆心O的连线;

③ 过T作TO的垂线，该垂线即为所求切线。

2.2.5　摆线

2.2.5.1　作平摆线

如图2-65所示，作图步骤:

① 在直线上取AA'等于滚动圆周的展开长度;

② 将滚动圆周及AA'线段按相同数量等分（图示为12等分）;

③ 过圆周上各分点作直线AA'的平行线;

④ 当圆由O1滚动到O2位置时，圆O2与过点2所作的平行线相交于P2，此即动点由P1到P2的新位置。用此法依次求出动点的各个位置P3、P4、…即可连成平摆线。

2.2.5.2　作外摆线

如图2-66所示，作图步骤:

① 自滚圆的点A在基圆弧上取圆心角α=×2π=∠AOA1;

② 将∠α和滚动圆周分成同样数量的等份（图示为12等份）;

③ 以O为圆心，过滚圆的各等分点作圆弧;

④ 当滚圆由O1到O2位置时，圆O2与过分点2所作的弧相交于P2，此即动点由P1到P2的新位置。用此法依次求出动点的各个位置P3、P4、…、P12即可连成外摆线。

2.2.5.3　作内摆线

作图方法与外摆线相同，如图2-67所示。

2.2.5.4　作摆线的切线

（1）过已知平摆线上一点T作切线

如图2-68所示，作图步骤:

① 以点T为圆心，滚圆半径r为半径作弧，交基圆圆心的轨迹线O1O'于点OT;

② 过OT作AA'垂线，垂足为AT;

③ 过点T作ATT垂线，即为所求摆线的切线。

（2）过已知外摆线AA'上一点T作切线

如图2-69所示，作图步骤:

① 以点T为圆心，滚圆半径r为半径作弧，交基圆圆心的轨迹线于点OT;

② 连接OT及O，与交于点OA;

③ 过点T作TOA的垂线，即为所求的切线。

2.2.6　阿基米德涡线

阿基米德涡线作法如图2-70所示。

作图步骤:

（1）将圆的半径OA分成若干等份，图示为8等份;

（2）将圆周作同样数量的等分，得1'、2'、3'、…、8';

（3）以O为圆心，O1、O2、O3、…、O8为半径作弧;

（4）各弧与相应射线O1'、O2'、O3'、…、O8'相交于P1、P2、P3、…，将各点连成曲线即为所求。