2.3　空间曲线与曲面

2.3.1　空间曲线

在平面内，曲线可以看成是动点的轨迹，因此在空间中，曲面也可看成是一个动点或动曲线（直线）按一定的规律形成的空间轨迹。

2.3.1.1　空间曲线概述

（1）空间曲线表达

① 投影表达。在正投影图中画出曲线上一系列点的投影，然后用曲线板将各点投影按序光滑连接，即得空间曲线的投影，如图2-71所示。若曲线的投影为规则曲线（如圆、椭圆等），则可用平面曲线的作图法画出其投影。

② 解析表达。空间曲线可以看作两空间曲面的交线，因此空间曲线可以用两空间曲面方程联立来表示。

其几何意义为用两曲面F、G的交线来表达空间曲线。若用

表示，其几何意义为用两个投射柱面f、g的交线来表达空间曲线，如图2-72所示。

空间曲线也可以用参数方程表示，

t1≤t≤t2

其意义为有向曲线段，如图2-73所示，参数t1，t2对应的空间曲线段为P1P2。

空间曲线还可以用矢函数表示，r（t）={x（t），y（t），z（t）}t1≤t≤t2表示空间有向曲线。几何意义为用变矢量（称为位置矢量）r（t）的端点轨迹来描述一条空间曲线，如图2-73所示。

（2）空间曲线的有关名词

① 切线—割线。M0M1在M0处的极限位置为空间曲线在M0点处的切线，如图2-74（a）所示。如曲线用r（t）表达，则曲线上一点M0处的矢量为

r'（t）={x'（t），y'（t），z'（t）}

它位于M0点的切线上，其单位切矢记为α。

在非退化情况下，曲线上一点处的切线投射后，仍为投影曲线的切线，其切点为该点的投影。

② 切平面。过M0点切线的各平面都是空间曲线在M0点处的切平面，它们组成一个切面束。

③ 密切平面。曲线上相邻三点M1、M0、M2所确定的平面，在M0点处的极限位置（即当M1→M0和M2→M0时），称为曲线在M0点处的密切平面，记作m。

④ 法面。过M0点并和其切线垂直的平面，称为空间曲线在M0点处的法面，记作f。

⑤ 化直平面（从切面）。过M0点并和平面m、f垂直的切平面，称为空间曲线在M0点处的化直平面（从切面），记作b。

⑥ 主法线。法面f与密切平面m的交线，称为空间曲线在M0点处的主法线，如图2-74所示。对应的单位主法矢记作β。

⑦ 副法线。法面f与化直平面b的交线，称为空间曲线在M0点处的副法线，如图2-74所示。对应的单位副法矢记作γ。

⑧ 动标三面形。由m、f、b三面与α、β、γ三矢量组成的一个坐标系称为空间曲线的动标三面形，如图2-74（a）所示，它随M0点在曲线上移动变化。α、β、γ三矢量组成一个右旋坐标系。

在M0点邻域内，空间曲线在M0点的动标三面形上的正投影如图2-74（b）所示。

（3）空间曲线动标三面形的作图方法

如图2-75所示，已知空间曲线段PQ的投影，求曲线上M0点处的动标三面形，作图步骤如下:

① 在M0点近旁，取相邻点P、Q……，作出各点M0、P、Q……的切线;

② 作出切线曲面P1M02Q3……，其水平迹线为曲线123……;

③ 作出曲线123……在2点处的切线，即为M0点处的密切平面m的水平迹线mH，密切平面m由相交直线mH与M02确定;

④ 利用重合法把m平面重合到水平投影面上，作出密切平面内M0点的主法矢β;

⑤ 按线面垂直作图法与右旋规则，作出副法矢γ=α×β，由此确定M0点处的动标三面形。

（4）空间曲线的右旋和左旋

在空间曲线上的一般点（非奇异点）处，可按曲线在该点的动标三面形中的投影状况，区分该点附近的曲线段为右旋或左旋。

① 右旋。如图2-74所示，空间曲线M0点处的走向（按α矢方向）符合右旋规则。

② 左旋。如图2-76所示，空间曲线M0点处的走向（按α矢方向）符合左旋规则。

（5）空间曲线的弧长

① 作图法求弧长。用作图法求空间曲线弧长如图2-77所示。

a.把曲线分成若干段;

b.将各段用直线段近似，把各直线段的水平投影展开成水平线;

c.求出各点的正投影，并用曲线板把它们连接起来，即把空间曲线展开成平面曲线;

d.求出此平面曲线的弧长。

② 计算法求弧长。

设曲线段用参数方程

t1≤t≤t2

表示，则此段曲线的弧长为

（6）空间曲线的曲率、挠率和曲率半径

① 曲率和曲率半径。空间曲线在M0点处的曲率为该点的切线相对于弧长的转动率。它描述了曲线在该点附近对该点切线的偏离程度。如图2-78所示，设曲率为k，则

当空间曲线用参数方程表示时，曲率的计算公式为

k=

曲率的倒数为曲率半径，记为R，R=。其几何意义为:在密切平面内，与曲线在M0点处密切的圆（该圆与曲线在M0点处的切触阶为2）的半径。这个密切圆又称为M0点的曲率圆，圆心μ在主法矢β上。

② 挠率。空间曲线在M0点处的挠率为该点的密切平面（或副法矢γ）相对于弧长的转动率，它描述了曲线上一点处曲线对于密切平面的扭曲程度。如图2-79所示，设挠率为τ，则

空间曲线在该点右旋时，τ为正;左旋时，τ为负。

空间曲线用参数方程表示时，τ的计算公式为

挠率的倒数称为挠率半径，记为G，G=。

③ 曲率半径的正投影关系式。空间曲线上一点处的曲率半径R与曲线的水平投影和正面投影上对应点处曲率半径rH、rV之间，有如下关系式，如图2-80所示。

rH=R　　　　R

其中，φH、φV为该点处切线对正投影面、水平投影面的倾角;εH、εV为该点的密切平面对正投影面、水平投影面的倾角。

利用上述关系式，如已知rH、φH、εH，则可求出R，即由空间曲线的投影可求出空间曲线某点处的曲率半径。

2.3.1.2　等导程圆柱螺旋线

由于动点M在圆柱面（称为导圆柱）上作等导程的螺旋运动所形成的空间曲线称为等导程圆柱螺旋线，如图2-81所示。

（1）圆柱螺旋线的参数

① 导圆柱半径。记作a。

② 导程。母线EF回转一周时，动点M沿圆柱面轴线移动的距离，记作L。

③ 螺旋参数。母线EF回转单位弧度时，动点M沿轴线移动的距离，记作b。

b=L/2π

④ 螺旋角。曲线的切线与圆柱面素线的交角，记作β。

tanβ=a/b

⑤ 升角。曲线的切线对圆柱面端面的倾角，记作ψ。

ψ=90°-β=arctanb/a　　

⑥ 线数。在导圆柱上，作等导程螺旋运动的曲线数，记作n。

⑦ 螺距。在一条素线上，相邻两条螺旋线上点的距离（即轴向距离），记作P。单线时:P=L，即螺距与导程相等，见图2-81（a）;多线时:P=L/n，即L=nP，见图2-81（b）。

⑧ 旋向。右旋，见图2-81（a）、（b）;左旋，见图2-81（c）。

（2）圆柱螺旋线的参数方程

如图2-82，若以转角θ为参数，一匝螺旋线的参数方程为:

0≤θ≤2π

（3）圆柱螺旋线的投影作图

圆柱螺旋线（右旋）的投影作图法如图2-82（a）所示，其步骤为:

① 作出导圆柱（半径为a），截取导程L;

② 将底圆周及导程分为相同的n等份（现取n=12）;

③ 由底圆的各分点m0、m1、…、m12与导程的各分点0、1、…、12，按投影关系求得螺旋线上各分点的正面投影m'0、m'1、…、m'12（图中表示了m'1、m'2的作图）。光滑连接各点，即得螺旋线的正面投影。

在图2-82（a）中，圆柱螺旋线的水平投影为圆，正面投影为余弦曲线。

对于左旋的圆柱螺旋线，其投影图的画法与上述相似，见图2-82（b）。

（4）圆柱螺旋线的十个几何性质

① 螺旋线上各点的切线与螺旋轴的夹角为定角（即螺旋角β），如图2-83所示。

② 螺旋线的切线与导圆柱的端平面（垂直于轴线）的交点轨迹为渐开线。

③ 螺旋线上一点的切线为该点的密切平面对端面的最大斜度线。

④ 螺旋线上各点的主法线和螺旋轴垂直相交。

⑤ 螺旋线上各点的副法线与螺旋轴的夹角为定角（即升角ψ），如图2-83（b）所示。

⑥ 螺旋线的弧长S和基圆弧长S1成正比，即

cosψ=　　

所以，一匝螺旋线的长度为:

⑦ 螺旋线为圆柱面上的导程线，圆柱面展开后，螺旋线展开为直线。

⑧ 螺旋线上各点的曲率为常数，即:

k=　　

⑨ 螺旋线上各点的挠率为常数，即:

τ=　　

右旋时，τ为正值（b为正值）;左旋时，τ为负值（b为负值）。

⑩ 螺旋线上各点的副法线和所有其他法线都是属于一个螺旋（由螺旋轴与螺旋参数确定）的螺旋射线，即满足关系式

dtanφ=b　　

式中，d为射线与螺旋轴的距离;φ为射线与螺旋轴的夹角;b为螺旋参数。

（5）圆柱螺旋线上任一点的切线、法面、密切平面、曲率半径、挠率半径的做法

① 切线。如图2-84（a）所示，螺旋线上各点切线对水平投影面的倾角为螺旋线的升角ψ，故切线的方向可以由导圆锥S的对应素线予以确定（导圆锥S的底圆半径为a、高为b）。例如:M点的切线MT对应于导圆锥素线SU（su//mt），由水平投影s'u'，作m't'//s'u'，m't'即为切线的正面投影。

② 法面。M点处的法面与切线MT垂直，可用相交直线M1、M2表示该法面，如图2-84（b）所示。

③ 密切平面。M点的密切平面与导圆锥S面上相应素线的切平面平行。密切平面可用相交直线MT、M1表示，见图2-84（b）。

④ 曲率半径与挠率半径。M点的曲率半径为，挠率半径为。

相应的作图方法如图2-84（b）所示，过导圆锥顶点s'，作e'f'⊥s'm'0，则m'0e'即为曲率半径，m'0f'即为挠率半径。

2.3.1.3　变导程圆柱螺旋线

（1）变导程圆柱螺旋线的参数

如图2-85所示，螺旋线的导程变化规律由函数L=φ（θ）给出，或由展开图给出（图中画出了一匝螺旋线）。

螺旋线上任意一点M对应于展开图上的点，作切线，即可确定在该点处的各参数。

瞬时螺旋参数bm=EF

瞬时导程Lm=2πbm

瞬时升角ψm=arctan

瞬时螺旋角βm=90°-ψm=arctan

（2）变导程圆柱螺旋线的参数方程（一匝）

0≤θ≤2π　　

（3）变导程圆柱螺旋线的投影作图

一匝螺旋线的画图步骤，如图2-85所示:

① 画出该匝螺旋线的展开图，即根据给出的变导程函数L=φ（θ），画出它对应的图像;

② 将底圆（导圆柱的水平投影）与展开图上的底线作相同的n等分（现为12等分），得展开图中螺旋线各分点位置、、…、;

③ 由水平投影的各分点m0、m1、…、m12与展开图上的对应高度0、1、…、12，求得各分点的正面投影m'0、m'1、…、m'12。光滑连接各分点，即为此变导程螺旋线的正面投影。

2.3.1.4　圆锥螺旋线

根据不同的运动规律，在导圆锥面上可以形成不同的圆锥螺旋线。

（1）等导程（或等螺距）圆锥螺旋线

如图2-86（a）所示，动点M绕轴线等速回转，同时沿圆锥母线作等速移动，即形成等导程圆锥螺旋线。

这种螺旋线的水平投影为阿基米德螺线，如图2-86（a）所示，其展开图如图2-86（b）所示，亦为阿基米德螺线。

投影图的作图步骤:

① 画出导圆锥面，定出起始点M0与导程L;

② 将底圆与导程作n等分（现为12等分），并求出圆锥母线上的对应分点;

③ 作出圆锥各素线，并定出各素线上的对应分点m0、m1、…、m12和m'0、m'1、…、m'12。光滑连接各分点，即为圆锥螺旋线（一匝）的水平投影与正面投影。同理可画出展开图。

图2-87所示的搅拌器，其三个斜螺旋面的边界即为等导程圆锥螺旋线Ⅰ、Ⅱ（三线，右旋），它们分别位于圆锥面A、B上，各为半匝。

（2）等斜角圆锥螺旋线

如图2-88所示，这种螺旋线的特点为:曲线与圆锥素线交于定角β。

这种螺旋线的水平投影为对数螺线，其矢径与曲线切线的交角为β1，且cotβ1=cotβsinδ;其展开图仍为对数螺线，曲线与各素线的交角仍为β。作图步骤如下:

① 画出导圆锥投影图及展开图，作出n条等分素线（现为12等分），求出各θ1或θ角;

② 在水平投影中按ρ1=a，求出各分点m1、m2、…、m12（或在展开图中按ρ=e-θcotβ求得各分点、、…、）;

③ 由水平投影中[或展开图2-88（b）中]的各分点，求得正面投影中的各分点m'1、m'2、…、m'12。

（3）圆弧型圆锥螺旋线

如图2-89所示，这种螺旋线的特点:在展开图中，曲线为一圆弧。由此可画出这种螺旋线的正投影图，步骤如下:

① 作出导圆锥面的展开图[图2-89（b）]，按给定的圆心和半径，画出圆弧;

② 在展开图中，作出n条等分的圆锥面素线（现为12等分），求得螺旋线展开图上的各分点、、…、;

③ 在正投影图中，作出各对应素线及素线上各分点的投影m'0、m0;m'1、m1;…;m'12、m12，用曲线板光滑连接，即得此螺旋线的两个投影。

图2-90所示为一圆弧齿圆锥齿轮，其齿面与分度圆锥的交线——齿面线，即为圆弧型圆锥螺旋线。

2.3.1.5　球面螺旋线

如图2-91所示，一动点沿球面的经线等速移动，同时绕球面的轴线等速回转，即形成球面螺旋线。作图步骤:

① 画出球面，确定始点M0与螺距P;

② 作出螺距P的n等分点（现为8等分），在水平投影的对应圆上，求出各分点m0、m1、…、m8，并光滑连接;

③ 求出正面投影中的对应点m'0、m'1、…、m'8，并光滑连接。

2.3.1.6　弧面螺旋线

螺旋线位于由弧线形成的回转面上。动点沿圆弧线（素线）作等速运动，同时绕轴线等速回转，即形成弧面螺旋线，见图2-92（a）。

弧面螺旋线的投影作图与图2-91类似。

图2-92（b）所示为弧面蜗杆，蜗杆的齿面线即为弧面螺旋线。

2.3.1.7　空间三次抛物线段

（1）空间三次抛物线段的参数方程

空间三次抛物线段是一种空间三次代数曲线，曲线段可由下列参数方程表示:

t1≤t≤t2

（2）确定空间三次抛物线段的几何方法

空间三次抛物线段可由不共面的四点确定，如图2-93（a）所示。其中P1、P2为曲线段的端点（对应参数为t1、t2），P11、P12为中间点（不位于曲线上），矢量、、构成一个空间特征三边形，称为贝齐尔（bezier）特征多边形。它有下述两个性质:

① 曲线段两端点处的切矢量P'1、P'2分别等于3、3;

② 若曲线的两端点不变，改变中间点P11、P12的位置，则可把原曲线段C调整为另一曲线段[图2-93（b）]。在曲线的形状设计中，可以利用这一性质控制曲线的形状。

（3）确定空间三次抛物线段上一点的作图方法

设曲线段由P1P11P12P2确定，P1、P2点对应的参数为t=0、1，则曲线段上对应参数为tx（0<tx<1）的点，可按图2-94（a）所示的作图方法求得，其步骤如下:

① 在特征多边形的各边P1P11、P11P12、P12P2上，分别取分点、、，使P1P=txP1P11、P11=txP11P12、P12=txP12P2;

② 在边P、P上，取分点、，使P=tx、P=tx;　

③ 在边P上取分点Ptx，使Ptx=tx、则Ptx即为曲线上对应参数为tx的点，并且线段在Ptx点与边相切。

若空间曲线由四点的投影给定，如图2-94（b）所示，则可在投影图中利用上述作图法，求出空间三次抛物线段上各点的投影。

（4）空间三次抛物线段的组合

光滑连接数个空间三次抛物线段，可以构成任意形状的组合空间曲线。各段的端点称为曲线的节点。

如图2-95所示，由n个节点P1、P2、…、Pn构成，由n-1条空间三次抛物线段光滑连接的组合空间曲线。

每一段曲线的贝齐尔多边形分别为P1P11P12P2、P2P21P22P3、…、Pn-1Pn-1，1Pn-1，2Pn。

如果要求各曲线段光滑连接，即在各中间节点处有公共切线（称为具有斜率连续），必须使相邻的两个贝齐尔多边形在连接点（节点）处的邻边共线，即相邻三点:P12P2P21、P22P3P31、…Pn-2，2Pn-1Pn-1，1分别共线。

2.3.2　空间曲面

2.3.2.1　曲面的形成

表2-2所示为空间曲面的形成方式及图例。

2.3.2.2　曲面的解析表达

（1）隐式

F（x，y，z）=0

（2）显式

z=f（x，y）

（3）参数方程

u1≤u≤u2，υ1≤υ≤υ2

曲面上对应于u或υ为常数的曲线，称为参数曲线，分别称为u线或υ线。它们是两个参数曲线族，组成曲面上一个参数曲线网，见图2-96。

（4）矢量形式

r（u，υ）={x（u，υ），y（u，υ），z（u，υ）}　　

u1≤u≤u2，υ1≤υ≤υ2

2.3.2.3　曲面的有关名词及公式

（1）切平面

曲面∑上过M点的各曲线的切线皆位于同一平面上，称为M点的切平面，记为π，如图2-97所示。

（2）法线

在曲面的M点处，过M点对该点的切平面作垂线，称为M点的法线，记为n，如图2-97所示。

（3）法截面、法截线

过法线所作曲面的截平面，称为法截面，如图2-97中的fa、fb面。法截面与曲面的截交线称为法截线，如图中的Cna、Cnb。

（4）法曲率

法截线在M点处的曲率，称为法曲率。如图2-97中法截线Cna、Cnb的法曲率为ka、kb，它们分别对应的切线方向称为该曲率的方向，如图中的a、b。

（5）主方向

过M点的各切线方向中，对应法曲率具有极大值或极小值的方向，称为主方向。一般有两个主方向，分别记为e1、e2，并且e1⊥e2，见图2-98（a）。

（6）主曲率

对应于主方向的法曲率值，称为主曲率。分别记为k1、k2。

（7）总曲率（高斯曲率）

在曲面上的一点M处，它的两个主曲率的乘积，称为M点的总曲率，记作K，K=k1k2。该值可用于描述曲面在点M处的弯曲性质。

（8）欧拉公式

曲面上M点处任一方向的法曲率和两个主曲率的关系，可用欧拉公式表示:

kn=k1cos2φ+k2sin2φ　　

其中，kn为对应n方向的法曲率，φ为n方向与主方向e1的夹角，如图2-98（b）所示。

2.3.2.4　曲面上点的分类

对于曲面上的非奇异点，按曲面在该点邻域内弯曲的性质，可分为下述几种类型，如图2-99所示。　

（1）椭圆型点

该点处总曲率K=k1k2>0。即沿该点两个主方向，曲面弯曲方向相同，曲面位于该点切平面的同侧，如图2-99（a）所示。

（2）双曲型点

该点处总曲率K=k1k2<0。即沿该点两个主方向，曲面弯曲方向相反，曲面与该点的切平面相截交，如图2-99（b）所示。

（3）抛物型点

该点处总曲率K=k1k2=0，即至少有一个主曲率为零。曲面与该点的切平面沿一线（直线或曲线）相切或产生具有尖点的截交线。如图2-99（c）、（d）所示。

（4）球型点

在该点处k1=k2=kn，即各方向的法曲率皆相等。它为椭圆型点的一个特殊情况，如图2-99（e）所示。

（5）平面型点

在该点处k1=k2=0，即kn=0，各方向的法曲率皆为零。它为抛物型点的一个特殊情况，如图2-99（f）所示。

2.3.2.5　曲面的分类

（1）曲面按其母线性质分类

曲面是由按一定规律运动的母线而形成的，母线在曲面上的每一个位置，称为曲面的素线（或仍称为母线）。控制母线运动的直线或曲线、平面或曲面，分别称为导线、导面，如图2-100所示。

由直线作为母线运动形成的曲面，称为直纹面。只能由曲线作为母线运动形成的曲面，称为曲纹面。

曲面的分类如表2-3所示。各类曲面的说明详见表2-4、表2-6、表2-8和表2-9。

（2）曲面按其母线运动方式分类

按其母线运动方式，曲面可以分为:

① 回转曲面。由母线绕轴线回转形成，如圆柱面、圆锥面、球面、圆环面等。

② 平移曲面。由母线沿导线平移形成，如柱面。

③ 螺旋面。由母线做螺旋运动形成，如圆柱螺旋面等。

④ 其他。母线按其他运动规律形成的曲面。

（3）曲面按其解析表达式分类

① 代数曲面。空间点P（x，y，z）的坐标，如能满足关于x、y、z的n次代数多项式的方程式，则称P点的轨迹为n次代数曲面。

代数曲面可按其方程的次数分类，如n=2时为二次曲面。

② 超越曲面。不能用代数多项式表示的曲面，称为超越曲面。例如曲面z=sinxsiny、各种螺旋面等。

2.3.2.6　二次曲面的表达式

二次曲面可由二次代数方程表示为:

F（x，y，z）=ɑ11x2+ɑ22y2+ɑ33z2+ɑ12xy+ɑ23yz+ɑ31zx+ɑ1x+a2y+a3z+a4=0　　

二次曲面表达式的标准形式及对应的图形如表2-4所示（指非退化的二次曲面）。

2.3.2.7　可展曲面（单曲面）

可展曲面又称（曲率）曲面。用直线作母线形成可展曲面的方式及与之对应的投影表示，如表2-5所示。可展曲面的几何特性见表2-6。

2.3.2.8　不可展直纹曲面（扭曲面）

不可展直纹曲面（扭曲面）又称为复（曲率）曲面。用直线作母线运动形成的不可展曲面，其形成方式和投影表示如表2-7所示。

不可展直纹曲面的几何特性如表2-8所示。

2.3.2.9　定母线曲纹面

曲纹面的母线只能是曲线（一般采用平面曲线）。曲纹面可分为定母线曲纹面与变母线曲纹面两大类。

定母线曲纹面指母线在运动过程中不改变其形状。母线的运动方式有绕轴线回转、与导平面平行、绕轴线做螺旋运动等，如表2-9所示。

2.3.2.10　变母线曲纹面

母线在运动过程中连续改变形状，母线的运动方式也有绕轴回转、与导平面平行等，以形成任意曲面，如表2-10所示。

2.3.2.11　圆柱螺旋面

母线（直线或曲线）绕轴线做螺旋运动，可形成各种螺旋面，本节只介绍圆柱螺旋面。

直纹螺旋面（等导程）

直纹螺旋面由直纹绕轴线做等导程螺旋运动形成，如图2-101（a）所示。

直纹螺旋面的参数方程为

其中，a为直纹与轴线（Z轴）的最短距离，即OA;b为螺旋参数;θ为直纹与轴线的夹角。

曲面的参数为u、υ，其中u为直纹绕Z轴的回转角;υ为直纹上M点对A点的位移。

设A点形成的圆柱螺旋线的螺旋角为β，如图2-101（b）所示，则β=arctan（设b>0，即右旋时）。直纹与轴线的相对位置不同，所形成不同的螺旋面类型及其特征如表2-11所示。其图例如表2-12所示，其中Tυ表示某一端截面位置，并画出了相应的端面截交线。

2.3.2.12　曲线螺旋面

只能由曲母线做螺旋运动形成的螺旋面称为曲纹螺旋面。

【例2-1】　图2-102所示的滚珠丝杠，其螺旋面的法向截交线为圆弧。

【例2-2】　图2-103所示螺杆泵中的螺杆，螺旋面的端面截交线为摆线弧。

2.3.2.13　用母面形成曲面

把曲面看成由母面运动形成的母面族的包络面，如表2-13所示。

2.3.2.14　用几何变换形成曲面

利用仿射变换、透视变换、反演变换及拓扑变换等，可将简单曲面（如球面、圆柱面等）变换为较复杂的曲面，如表2-14所示。

利用仿射变换和拓扑变换可以解决复杂曲面的设计作图问题。如表2-15所示。

2.3.2.15　曲面中的作图问题

（1）在直纹曲面中，由给定的导线作其素线

如图2-104所示，设由三曲导线L1、L2、L3给出一扭柱面，现过L1上的A点作曲面的素线（直纹），其步骤如下:

① 以A为顶点，以L3为导线作一辅助锥面K1;

② 过L2作一投射柱面K2（垂直正面）;

③ 求出曲面K1与K2的交线L4的水平投影l4;

④ l4与l2的交点为b，由b求得b';

⑤ 连接AB并延长至C（与L3的交点），直线ABC即扭柱面上过A点的直纹。

（2）作曲面的切平面与法线

过曲面一点M任作曲面上两条曲线，作出这两条曲线的切线T1、T2，两相交直线T1、T2确定了M点的切平面。过M点作直线MN垂直于切平面。MN即为过M点的法线。

如图2-105所示为一球面，过球面上M点作球面的水平圆与正面圆，然后作出此两圆的切线T1、T2。T1、T2所确定的平面即为过M点的切平面，法线MN过球心O，并与切平面垂直。

图2-106所示为一阿基米德斜螺旋面，过螺旋面上M点作切平面与法线的步骤为:

① 作出M点的直纹，可视为曲面的切线T1;

② 由过M点的导圆柱半径am、螺旋参数b，求出过M点的圆柱螺旋线的升角φm，由此可求出过M点与螺旋线的切线T2;

③ M点的切平面即由切线T1、T2确定;

④ 法线MN与平面T1T2垂直;

⑤ 法线MN的水平投影过一点f（of⊥om且of=btanθ）。过M点的直纹上各点法线的水平投影皆过此点f（证明从略）。

（3）作曲面的轮廓线

① 用曲面上曲线族投影的包络作图。

例如在图2-107中，作出曲面上一组圆纹，其水平投影的包络线c即为曲面水平投影的轮廓线（此包络线的正面投影为c'）。

又如图2-108中，双曲抛物面正面投影的轮廓线为直线族的包络。

② 用母线族投影的轮廓线作图。

若将曲面看成由母线（例如球面）运动形成，而母面的投影轮廓线又易于作图（如圆），则可利用母面族的投影轮廓线来求曲面轮廓线。

③ 利用法线位置作图。

若曲面上K点为投影轮廓线上的点，则过点K的切平面必为投射面。因此，过点K的法线必为投影面平行线。根据这个规律，可作出某些曲面的轮廓线。

如图2-109所示，已给出阿基米德斜螺旋面，求位于直纹LM上而属于正面投影轮廓线的点K。可按下列步骤作图:

a.作出直纹l'm'、lm;

b.作lf⊥lm，取lf=btanθ（其中，θ为直纹与轴线交角，b为螺旋线参数）;

c.过点f作水平线与lm交于点k，kf即直纹上点K处法线的水平投影;

d.由k求得k'，点K即螺旋面正面投影轮廓线上的点。