3.6 直线、平面的相对位置
直线与平面、平面与平面的相对位置有平行、相交、垂直三种。
3.6.1 平行问题
（1）直线与平面平行
如果一直线与平面内的一直线平行，则该直线与这个平面平行。如图3-18所示，直线DE平行于△ABC平面上的直线AC，则直线DE平行于△ABC平面。
图3-18 直线与平面平行（一）
对于特殊位置平面，因为它的投影中必有一个具有积聚性，平面上的一切直线在该投影面上的投影都积聚成一直线，因而判断直线与特殊位置平面是否平行，只需看该平面具有积聚性的投影与已知直线的同面投影是否平行而定。如图3-19所示，△ABC平面是正垂面，该平面在V面投影积聚成一条直线，直线DE的V面投影与积聚线平行，所以直线DE平行于△ABC平面。
图3-19 直线与平面平行（二）
（2）平面与平面平行
若一平面上相交两直线对应地平行另一平面上相交两直线，则这两个平面相互平行。如图3-20所示，两相交直线AB、AC分别与两相交直线DE、DF平行，因此两平面相互平行。
图3-20 平面与平面平行
当两个相互平行的平面同时垂直于某一投影面时，则它们在该投影面上的投影也相互平行。图3-21表示两个正垂面△ABC和△DEF相互平行，则它们的正面投影相互平行;反之，若两个平面具有积聚性的同面投影相互平行，则这两个平面在空间必定相互平行。
图3-21 两正垂面相互平行
3.6.2 相交问题
（1）直线与平面相交
直线与平面相交时必有一个交点，该点是它们的共有点，即交点既在直线上又在平面上。当直线或平面两者之一垂直于某一投影面时，可利用其投影的积聚性求得交点。
① 一般位置直线与垂直面相交。如图3-22所示，在水平投影面上直接求得k点，由k点即可求k'。判断可见性，当交点确定以后，还要判别线与面之间在正面投影中的可见性。在正面投影中，凡位于平面之前的线段为可见，位于平面之后的线段被平面遮住为不可见。将可见的线段画成粗实线，不可见的线段画成虚线，而交点便是可见与不可见的分界点。
图3-22 直线与铅垂面相交
② 投影面垂直线与一般位置平面相交。如图3-23所示，铅垂线EF与△ABC相交，交点K的水平投影k一定重合在直线EF有积聚性的投影e（f）上，即k为已知，k点又属于平面上的点，过k点作属于△ABC平面的直线cd，求出c'd'，K点在CD上，k'必定在c'd'上，由此求出直线与平面的交点。EF直线与△ABC的边BC是两条交叉直线，EF线段上的Ⅲ点和BC上的Ⅳ在正面投影重合为一点，在水平投影上，Ⅳ在Ⅲ点的前面，因此3'k'不可见。
图3-23 铅垂线与一般位置平面相交
③ 一般位置平面与一般位置直线相交。直线与平面处于一般位置相交时，由于它们都没有积聚性投影，所以不能直接确定交点的投影，需通过作辅助平面来解决。如图3-24所示，含AB作辅助平面（铅垂面）RH，RH与ab重合;RH辅助平面与△CDE的交线MN的水平投影mn即可求得，由m、n可求得m'、n';由m'n'与a'b'的交点k'可作出其水平投影k，则k、k'即为直线与平面的交点K的投影。判断可见性，如图3-24（c）所示，判断可见性时利用重影点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，判断正面投影可见性，用正面投影上的重影点4'（3'）对照水平投影4点和3点可知，Ⅳ点在前，Ⅲ在后，正面投影中a'k'上的4'为可见，即4'k'应画粗实线，k'与b'连线在c'd'e'轮廓线范围内的一段画虚线。判断水平投影的可见性时，用水平投影上的重影点1（2），其方法与上述相同。
图3-24 一般位置直线与平面相交
（2）平面与平面相交
空间两个平面相交时的交线是一条直线。该直线是两个平面的共有线，交线上的每个点都是两平面的共有点。若已知交线上两个点或已知一个共有点和交线的方向，即可确定两平面的交线。
① 一般位置平面与特殊位置平面相交。两平面相交，若其中一个处于特殊位置，则交线的一个投影必与特殊位置平面的积聚性投影重合，另一面投影可由面上求线的方法求得。如图3-25所示，正垂面DEFG与一般位置平面ABC相交，分别求出平面ABC上的两边AC、BC与正垂面DEFG的交点K1、K2，则连接K1、K2就是所求的交线。由正面投影直接得交点k'1、k'2，再求出k1、k2。连接k'1k'2和k1k2，即完成交线K1K2的两面投影，然后利用重影点判断可见性，完成作图。
图3-25 正垂面与一般位置平面相交
② 两一般位置平面相交。两一般位置平面的投影均无积聚性，故它们相交时，不能直接确定其交线的投影，需要通过辅助作图才能求得。
方法之一，利用求线面交点的方法求交线。由于两平面也可用相交两直线来表示，所以可以在相交两平面中的一个平面上找出两相交线，然后分别求出此两直线与另一平面的两个交点，连接此两点即可求出相交两平面的交线。由此便可以运用前述辅助平面法求线面交点的方法，求出相交两平面的交线上的两个点，从而求得交线。如图3-26所示，分别包含DE、DF作两辅助正垂平面PV、QV，求得K、L，即为所求交线。然后根据重影点判断平面轮廓的可见性。必须指出的是，利用此法求交线，其投影线段应在两平面的公共范围内。
图3-26 利用求线面交点的方法求两一般位置平面的交线
方法之二，利用三面共点法求作两平面的交线。有两个一般位置的平面△ABC和△DEF，如图3-27所示，两平面在图示范围内没有公共的范围，不便用第一种方法求解。为求两平面的交线，可先作辅助平面P，形成三面相交。辅助平面P与已知两平面相交于直线KL、MN，由于两直线同在一个平面内，故必相交于一点S，则S是已知两平面和辅助平面的三面共有点。同理求出T点，则ST即为两平面的交点。
图3-27 三面共点法求两一般位置平面的交线
3.6.3 垂直问题
直线与平面相互垂直可以看作是线面相交的一种特殊情况。垂直问题的作图方法，是建立在直角投影定理的基础上。
（1）直线与平面垂直
由立体几何可知，如果直线垂直于平面，则该直线垂直于平面内的所有直线。如图3-28所示，设LK垂直于平面△ABC，K为垂足，则LK也垂直于平面内过垂足K的水平线RP和正平线MN。根据直角投影定理，可以得出直线与平面垂直的投影特性。
图3-28 直线与平面垂直
直线垂直于平面，则直线的水平投影垂直于平面内水平线的水平投影;直线的正面投影垂直于平面内正平线的正面投影;直线的侧面投影垂直于侧平线的侧面投影。如图3-28（b）所示，KL⊥△ABCE，则kl⊥rp;k'l'⊥m'n'。
（2）两平面垂直
由立体几何已知，若一直线垂直于一平面，则包含此直线的所有平面都垂直于该平面。如图3-29（a）所示，直线AB垂直于平面P，则包含直线AB作的平面Q、R、S均垂直于平面P。所以两平面的垂直问题，是直线垂直于平面和包含直线作平面这两个问题的综合。利用上述原理，亦可判断两平面是否垂直。
图3-29 两平面垂直
如图3-29（b）所示，过M点作平面与平面△ABC垂直。在平面△ABC内作正平线CD和水平线CE;过M点作MF垂直于平面△ABC，即mf⊥ce，m'f'⊥c'd';过M点作任一直线MG，则相交两直线MF、MG所确定的平面必垂直于平面△ABC。
工程实际问题一般都是较为复杂的、综合性的问题。因此，常将它们抽象为几何元素，以便于解决它们相互间的空间几何关系，如距离、角度、轨迹、形状及尺寸等。解决这类问题需要有良好的分析空间问题、解决空间问题的空间思维能力和想象能力。只有先从空间分析上把复杂的综合问题分解为简单的、各种相互位置的综合，进而明确解题步骤，才能顺利地在投影图上作出结果。上述的几何元素的空间关系投影表示法是图解空间几何元素关系问题的基础。