3.7　投影变换

当空间几何元素相对投影面处于特殊位置时，在投影图上可以直接反映出直线的实长、平面的实形、直线和平面对投影面的倾角、直线与平面的交点等。投影变换就是把几何元素相对于投影面由一般位置变换为特殊位置，以便于几何元素及其关系的度量和定位。投影变换方法包括换面法和旋转法。

3.7.1　换面法

在换面法中，新投影面必须符合以下两个基本条件:一是新投影面必须垂直于原投影体系中的一个投影面，从而建立起新的直角投影体系，以便应用正投影原理作出新的投影;二是新投影面必须使空间的几何元素处于有利于解题的位置。

（1）点的换面规律

① 点的一次换面。如图3-30所示，H面不动，用新投影面V1更换V面，形成新的投影体系V1/H。V1与H面垂直，且交线为O1X1轴，即新投影轴。由A点向V1面作垂线，便得到新投影a'1。由于H面不变，所以A点的水平投影也不变。当V1面绕新投影轴旋转到与H面重合后，a'1与a的连线必定垂直于O1X1轴，点的投影变换规律:

点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴，如图3-30（b）所示，aa'1⊥O1X1;

点的新投影到新投影轴的距离，等于被更换的投影到旧投影轴的距离，a'1aX1=a'aX=Aa。

如图3-31所示，更换H面为H1面的投影变换规律:

点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴，如图3-31（b）所示，a'a1⊥O1X1;

点的新投影到新投影轴的距离，等于被更换的投影到旧投影轴的距离，a1=aaX=Aa'。　

② 点的二次换面，其作图原理与点的一次换面类似。新投影面的选择必须满足前述的两个基本条件，而且不能连续更换同一个投影面，更换一个后，在新的两面体系的基础上，再更换另一个，如图3-32所示。

（2）四个基本作图问题

应用换面法解决工程实际问题时，会遇到各种各样的情况，但从基本作图方法来看，可归纳为以下四种:

① 把一般位置直线换成投影面平行线，选择一个既与已知直线平行，又与原投影体系中的一个投影面垂直的新投影面即可，如图3-33和图3-34所示。

② 把投影面的平行线换成投影面垂直线，只要选择一个与已知平行线垂直的新投影面即可，如图3-35所示。

③ 把一般位置平面换成投影面垂直面，如图3-36所示，△ABC在V/H体系中是一般位置平面，若要使它变换成新投影面的垂直面，就必须使新投影面垂直于△ABC平面上的直线，同时还要保持新投影面垂直于V/H体系中的一个投影面。若V1垂直于H面，则△ABC平面上所取直线一定是水平线才符合条件，如CD直线。

④ 把投影面垂直面换成投影面平行面，只要作一个新投影面与已知平面平行即可，如图3-37所示。

3.7.2　旋转法

旋转法是保持投影面体系不变，旋转空间几何元素使之与投影面之间成特殊关系，以解决度量和定位问题。旋转法可分为绕垂直于投影面的轴线（简称垂直轴）旋转和绕平行于投影面的轴线（简称平行轴）旋转。常用的是绕垂直轴旋转。

（1）点绕垂直轴旋转时的投影规律

如图3-38（a）所示，点绕正垂线轴旋转时，其正面投影为圆，水平投影为一平行于OX轴的直线。同样，点绕铅垂线轴旋转时，其水平面投影为圆，正投影为一平行于OX轴的直线，如图3-38（b）所示。

（2）直线与平面绕垂直轴旋转时的投影规律

如图3-39所示，直线与平面绕垂直轴旋转时的投影规律:

① “三同”规律。直线、平面旋转时，其上各点的相对位置不能改变，必须绕同一旋转轴、同一方向、旋转同一角度，这是旋转时的“三同”规律。

② 旋转时的不变性。当线段绕垂直轴旋转时，它在轴所垂直的投影面上的投影长度不变，线段与该投影面的倾角不变;同理，平面在轴所垂直的投影面上的投影形状和大小不变，平面与该投影面的夹角不变。

作图时，根据直线或平面的一个投影的不变性，首先作出其不变投影，然后根据点绕垂直轴的旋转规律作出另一投影。图3-39（c）为不指明轴旋转法。

（3）旋转法中的四个基本作图问题

① 将一般位置直线旋转成投影面平行线。旋转后可以求出线段的实长和对投影面的倾角，如图3-40所示。

② 将投影面平行线旋转成投影面垂直线，如图3-41所示。要将一般位置直线旋转成投影面垂直线要经过二次旋转，如图3-42所示。

③ 将一般位置平面旋转成投影面垂直面。旋转后可以求出平面对投影面的倾角。如图3-43所示，△ABC为一般位置平面，要旋转成铅垂面，则必须在平面上找一直线将它旋转成铅垂线。正平线经一次旋转即可旋转成为铅垂线，因此在平面内取一正平线CN，将CN旋转成铅垂线CN1，再按“三同”规律及旋转时的不变性，将△ABC随之旋转，这时a1cb1必定积聚成一条直线，a1cb1与OX轴的夹角即反映平面对V面的倾角β。

④ 将投影面垂直面旋转成投影面平行面，如图3-44所示，△ABC为一铅垂面，要旋转成正平面，可绕过点B并垂直H面的旋转轴旋转，使其具有积聚性的投影旋转到平行于OX轴，此时该平面为正平面，其正面投影△a'1b'c'1反映实形。

将一般位置平面旋转成投影面平行面，需进行两次旋转，旋转成投影面垂直面后，再继续旋转成投影面平行面，如图3-45所示。