第330章 热尔曼素数
不会钻牛角尖的！
既然苏陌都已经这么说了。
杨济自然也不会过多的说什么。
“没问题，你自己把控好就成，其实我觉得，费马大定理他当初的时候，真的未必能够全部证明出来，或者说这只是他的推论，毕竟当初就写下了这么一个想法！”
“在十七世纪的时候，虽然数学蓬勃发展，但也不是万能的！”
杨济对此还是持有怀疑的观点。
毕竟这个费马定理，只是一道题而已。
这种东西就算是推导出来了，对学术界的贡献也没有那么大！
最多只能够算是在某些方面比较好罢了！
“我也就是闲得无聊，而且费马定理其实跟我现在证明的哥德巴赫猜想也是有相同的地方！”
苏陌继续说道，同时指着费马定理的推论道：“这里面最感兴趣的其实是热尔曼素数，对于质数p来说，若2p + 1亦为质数，那么质数p为索菲热尔曼质数。”
“索菲·热尔曼证明了费马最后定理对于这类质数为真。且若x，y，z均为整数，在xp + yp = zp这式子内，必有一项能被p整除。”
“但是这个素数也是存在着问题，那就是到底是否存在无限个热尔曼素数？若是不存在无限个素数的话，那么是不是刚开始的证明就出现问题了？”
苏陌指着书本上面的热尔曼素数继续开口道。
“这个证明其实有点意思，最开始是一个比较大的证明题，但是在求证的过程中，出现了一个小证明题，偏偏这个小证明题还不能够得到证明，从而就仿佛像是套娃一样，能够无限地循环下去！”
“但是这个热尔曼的素数永远不会以7的个位数！”
“反证法：假设存在个位数为7的质数p，将它表达成p=10k+7。根据索菲热尔曼质数的性质，2p + 1亦是质数，但2p + 1 = 2(10k +7)+ 1 = 20k + 15 = 5(4k + 3)，2p + 1能被5整除，是合成数，矛盾。”
“从这个里面我们能够判断出来，整个素数是不完全的，所以这么推导下去的话，这里面还蕴含着不少其他的东西，至少我们现在是没有搞清楚的！”
苏陌看着这个热尔曼素数的问题，然后又想到了什么。
“若p > 3，且p为索菲热尔曼质数，2p+1是梅森数Mp的因子。”
“其实整个素数的证明还是不完备的，这里面还诞生出了不少其他的东西，例如坎宁安链等问题，数列{p， 2p + 1， 2(2p + 1)+ 1，...}的索非热尔曼质数称为第一类坎宁安链。除了首尾之外，这个数列中的项均同时为索非热尔曼质数和安全质数。”
苏陌看到这里的时候，也是稍微皱了下眉头，然后开口道。
“当有解存在时，x、y或z中必有一个是n 的倍数。热尔曼的方法被证明是有效的，按照她的方法，数学家陆续证明出了n=5以及n=7的情况。”
“但是这两个问题，很快就被库默尔的科学家，直接指出他们两个人的证明中存在着漏洞，导致前面的两个的科学家都是直接宣布失败！”
苏陌在这里介绍的时候，旁边的杨济一直都是在频频点头，然后说出了直接梳理的内容。
1753年瑞士著名数学家欧拉，在写给哥德巴赫的信中说，他证明了n=3时的费马猜想，1770年其证明发表在《代数指南》一书中，方法是“无限下降法”和形如数系的唯一因子分解定理，这一方法也被后人多次引用。
1816年巴黎科学院把费马猜想转化简化归结为n是奇素数的情况，认为费马猜想应该成立，并称之为费马大定理（以区别费马关于同余的小定理），并为证明者设立大奖和奖章，费马大定理之谜从此进一步风靡全球。
费马自己证明了n=4的情形。
十九世纪初法国自学成才的女数学家热尔曼证明了当n和2n+1都是素数时费马大定理的反例x，y，z至少有一个是n整倍数。在此基础上，1825年德国数学家狄利克雷和法国数学家勒让德分别独立证明费马大定理在n=5时成立，用的是欧拉所用方法的延伸，但避开了唯一因子分解定理。
1839年，法国数学家拉梅对热尔曼方法作了进一步改进，并证明了n=7的情形，他的证明使用了跟7本身结合得很紧密的巧妙工具，只是难以推广到n=11的情形；于是，他又在1847年提出了“分圆整数”法来证明，但没有成功。
1844年，库默尔提出了“理想数”概念，他证明了：对于所有小于100的素指数n，费马大定理成立，此一研究告一阶段。但对一般情况，在猜想提出的头二百年内数学家们仍对费马大定理一筹莫展。
1847年，巴黎科学院上演戏剧性一幕，当时著名数学家拉梅和柯西先后宣布自己基本证明费马大定理，拉梅还声称证明引用了刘维尔复数系中的唯一因子分解定理，刘维尔则说这一定理源自欧拉和高斯的思想。
大数学家都被扯入其中，似乎结论十分可靠。就在此时刘维尔宣读了德国数学家库默尔的来信，明确指出证明中的复数系的唯一因子分解定理并不普遍成立，于是拉梅和柯西的证明都是错的。
大约在1850年前后，高斯的学生、德国数学家库默尔看到唯一因子分解是否成立是欧拉、热尔曼创立的试图证明费马大定理的方法关键，于是他创立了一种“理想数环”理论，据说这一思想也受其老师高斯启发，高斯表面上声称对费马大定理不感兴趣，实际上对n=7久思不解。
学生库默尔运用独创的“理想素数”理论，一下子证明了100以内除37、59、67以外的所有奇数费马大定理都成立，使证明问题取得了第一次重大突破。
库默尔之后近半个世纪，费马大定理证明都停滞不前，直到二十世纪前期大数学家勒贝格向巴黎科学院提交了一个费马大定理的证明论稿，由于勒贝格当时的权威声望，大家都以为这下问题解决了，但经过广泛传阅其证明稿件，人们遗憾地发现大数学家的分析证明还是错的。
杨济老先生梳理整个费马大定理的证明流程。
梳理前人的研究这个点，也是非常重要的，这样你可以知道前人在证明过程中的思想路径，他们到底是怎么进行下一步的计算，又是怎么得到最后的结果！