2.3.3　与曲面相关的变分问题举例

这一节转向讨论空间的最优曲面的变分问题．

对于直角坐标表示下的光滑曲面

其中的定义域Ω是一个有界闭区域，其边界为光滑曲线∂Ω．考虑曲面满足如下固定边界条件：

对应于Σ的边界曲线为

Γ：（x, y, ϕ（x, y）），（x, y）∈∂Ω

如图2-4所示，其中w=z=f（P），P（x, y）∈Ω．

对应这类二维问题的泛函为

这里的▽是哈密顿（Hamilton）算子，▽z={zx, zy}．

函数F（P, z，▽z）充分光滑，可以关于函数项展开

这里的摄动函数z1=z1（x, y）具有连续的偏导数，而且z1|∂Ω=0，这样，泛函的极值点落在ε=0处：

式中，n是边界∂Ω的外法线单位向量，dl为边界∂Ω的弧微分．且有

结合边界条件z1|∂Ω=0，再利用z1的任意性和定理1.6，从上式就可以得出

此即该问题的欧拉－拉格朗日方程．

例2.3　在约束条件式（2-28）下的泛函，式（2-29）的极小问题，即

的解z满足极小函数曲面方程

解　泛函L对应式（2-29）的能量函数

这里的F仅依赖于．利用式（2-30）得出极小曲面应该满足的欧拉－拉格朗日方程

所以，极小曲面z=z（x, y）满足

和边界条件

这里的．

以上三个例子是比较典型的经典变分问题，各有特点．通过以上详细分析，得出了曲线或曲面所要满足的方程和定解问题，余下的工作是针对具体的条件进行定解问题求解．