1.1.2　离散时间系统

离散时间系统可以用图1.7来表示，它的输入是一个序列，输出也是一个序列。因此，离散时间系统的本质是将输入序列转变为输出序列的一种运算，图中的用来表示这个运算关系，即

下面对离散时间系统中最常用的线性离散时间系统和移不变离散时间系统做简单介绍，并讨论线性离散时间系统和移不变离散时间系统的时域描述。

1．线性离散时间系统

一个离散时间系统，如果在输入为x1(n)和x2(n)时的输出分别为y1(n)和y2(n)，即

而系统在输入为ax1(n)+bx2(n)的情况下的输出是ay1(n)+by2(n)，这样的系统就是线性离散时间系统，简称线性系统。线性系统满足叠加性和齐次性，可以表示为

2．移不变离散时间系统

一个离散时间系统，如果系统的运算关系不随时间变化，则系统称为移不变离散时间系统或时不变离散时间系统。也就是说，如果T[x(n)]=y(n)，那么对任意整数n0有

可以看出，对移不变离散时间系统，系统的输出序列随输入序列的移位而移位，但形状不变。

既满足线性，又满足移不变条件的系统称为线性移不变离散时间系统或线性时不变离散时间系统。这是一种最常用也最易于理论分析的系统。如不另加说明，本书后面章节讨论的系统都是线性移不变离散时间系统。

3．系统的单位脉冲响应

线性移不变离散时间系统可以用系统的单位脉冲响应来描述。单位脉冲响应是系统在单位脉冲序列δ(n)激励下的响应，用h(n)表示，即

由单位脉冲响应h(n)，可以求出系统在任意输入时的输出。因为任何输入序列都可以表示为单位脉冲序列的移位加权和（式（1.1.3）），即

当输入为x(n)时系统的输出为

因为系统是线性的，所以

因为系统是移不变的，所以

将其代入式（1.1.7），得

式（1.1.8）表明，线性移不变离散时间系统的输出等于输入序列与系统单位脉冲响应的线性卷积。

4．系统的差分方程

除了系统的单位脉冲响应h(n)，线性移不变离散时间系统还可以用常系数线性差分方程来描述，其一般形式为

所谓常系数，是指系数bi和ai是与序号n无关的常数，这正是“移不变”特性的体现；所谓线性，是指x(n-i)、y(n-i)各项均是一次项，没有高次项，也不存在它们的相乘项，符合系统的线性特性。

差分方程可以看成是一个递推公式，结合初始条件可以递推求出系统在给定输入下的瞬态解。初始条件反映了系统的初始状态。如果系统不是零状态，那么即使没有输入，系统也会有输出，这就是系统的零输入响应，是由系统的初始储能所产生的响应。假设系统为零状态，也就是系统初始不储能，那么系统在输入激励下的输出就是零状态响应。系统的完全响应由零输入响应和零状态响应两部分组成。下面以最简单的一阶差分方程为例来求系统的瞬态解。

例1.1.2　已知一阶差分方程为

初始条件为当n<0时y(n)=0，求该系统在输入为δ(n)时的瞬态解。

解：递推求瞬态解只需要从n=0开始，因为n=0以前的输出已经由初始条件给出了。

先由初始条件及输入求y(0)的值，然后递推。

递推下去可以得到通式

如果初始条件改为当n>0时y(n)=0，可以将式（1.1.10）写成递推公式

此时

可以得到通解为

离散时间系统的差分方程与模拟系统的微分方程类似，是一种时域分析工具。为了更便于分析离散时间系统的稳定性及频响等特性，还需要寻求一种像模拟系统中拉氏变换那样有力的工具，这个工具对离散时间系统来说就是Z变换。