1.1.3　Z变换与系统函数

1．Z变换

一个离散序列x(n)的Z变换定义为

这是一个以z为变量的函数。z是复变量，它是一个以其实部为横坐标、虚部为纵坐标的平面上的变量，这个平面也称为z平面。

下面举两个序列Z变换的例子。

（1）x(n)=δ(n)

可见，单位脉冲序列的Z变换是单位常数。

（2）x(n)=u(n)

这是一个等比因子为z-1的无穷等比级数，当|z-1|≥1时级数是发散的，只有当|z-1|<1时级数才收敛，X(z)才存在。这时无穷级数可以用封闭形式即解析函数的形式表示为

不难看出，序列u(n)的Z变换只在z平面的一定范围内收敛，这个使Z变换收敛的z的取值范围称为Z变换的收敛域（Region of Convergence，ROC）。需要指出的是，任何封闭形式表示的Z变换都只是z平面收敛域上的函数，并不代表收敛域以外的函数，因为在收敛域以外函数是发散的，不存在任何解析表达式。在使用封闭形式表示Z变换时，必须同时注明收敛域。

收敛域对Z变换是一个重要概念，下面对它进行详细讨论。

2．Z变换的收敛域

根据级数的知识可知，级数一致收敛的条件是绝对可积，因此z平面上的收敛域应满足

z是复变量，一般用极坐标形式表示为

r和ω分别表示模和辐角，即

将式（1.1.13）代入式（1.1.12），得

式中只有n、x(n)和r 3个因素，没有arg[z]。可见，z平面上的收敛域只与模|z|有关，而与辐角无关，收敛域的边界一定是圆，收敛域可能在圆内或在圆外，还可能在两个圆之间。下面就有限长序列、右边序列、左边序列和双边序列4种情况分析收敛域的特点。

（1）有限长序列

有限长序列指序列x(n)只在有限的长度内有值，在此长度以外皆为0，即

有限长序列的Z变换为

上式表示的是有限项级数，因此只要级数的每一项都有界，有限项之和就有界。实际中考虑的序列值x(n)均是有限幅值，所以只要z-n有界即可。显然在整个开域0<|z|<∞都能满足该条件。一般将这个开域称作“有限z平面”，也就是说，有限长序列在有限z平面上必然收敛。需要注意的是，有限z平面是有限长序列的最小收敛域，如果对有限长序列的始点n1和终点n2做出一定的限制，那么收敛域还可以进一步扩大，具体情况如下。

①当始点n1≥0时，必有n≥0，此时收敛域包括∞点，为0<|z|≤∞。

②当终点n2≤0时，必有n≤0，此时收敛域包括0点，为0≤|z|<∞。

前面的x(n)=δ(n)就是n1=n2=0的特例，它的收敛域是整个闭域z平面，有

（2）右边序列

右边序列是指x(n)只在n≥n1时有值，即

如果右边序列的始点n1≥0，则该右边序列叫因果序列。不失一般性，假定右边序列的始点在原点左边，那么可以将该右边序列分割成一个有限长序列与一个因果序列之和，则该右边序列的收敛域应是有限长序列与因果序列各自收敛域的共同部分（交集）。

可以证明（证明从略），因果序列的收敛域在一个圆的外部且包括∞点。至于整个右边序列的收敛域是否包括∞点，则取决于它的另一部分，要看有限长序列是否包含n<0的序列项。考虑因果序列和有限长序列收敛域的交集，可知右边序列的收敛域如下。

①当始点n1≥0时，右边序列是因果序列，此时收敛域包括∞点，为R1<|z|≤∞，R1表示收敛半径。

②当始点n1<0时，右边序列的收敛域为R1<|z|<∞，R1表示收敛半径。

因为Z变换在收敛域上是有限值，所以收敛域内不存在极点（极点是使X(z)=∞的z），也就是说，右边序列的收敛域在模值最大的极点所在圆的外部。例如，指数序列x(n)=anu(n)是一个因果序列，其Z变换为

只有当|az-1|<1，即|z|>|a|时，该级数收敛。Z变换在收敛域上可以表示为

Z变换的解析表达式在z=a处有一个一阶极点，在z=0处有一个一阶零点（零点是使X(z)=0的z），收敛域正是该极点所在圆|z|=|a|以外的区域，如图1.8所示。

（3）左边序列

左边序列是指x(n)只在n≤n2时有值，即

可以证明（证明从略），左边序列的收敛域在一个圆的内部。至于收敛域是否包括原点，要看该序列是否包含n>0的序列项。左边序列的收敛域如下。

①当终点n2>0时，左边序列包含n>0的序列项，此时收敛域不包括原点，为0<|z|<R2，R2表示收敛半径。

②当终点n2≤0时，左边序列不包含n>0的序列项，此时收敛域包括原点，为0≤|z|<R2，R2表示收敛半径。

同样，因为收敛域内不存在极点，所以左边序列的收敛域在模值最小的极点所在圆的内部。例如，左边序列x(n)=-anu(-n-1)，其Z变换为

只有当|a-1z|<1，即|z|<|a|时，该级数收敛。Z变换在收敛域上可以表示为

Z变换的解析表达式在z=a处有一个一阶极点，在z=0处有一个一阶零点，收敛域正是该极点所在圆|z|=|a|以内的区域，如图1.9所示。

（4）双边序列

双边序列x(n)的定义域是(-∞,∞)，这样的序列可以看作一个因果序列和一个左边序列之和，所以双边序列Z变换的收敛域是这两个序列Z变换的公共收敛域。

第一项的收敛域是|z|<R2，第二项的收敛域是|z|>R1，X(z)的收敛域应是两者的交集。需要注意以下两点。

①如果R1<R2，则X(z)的收敛域为R1<|z|<R2，是环形域。

②如果R1>R2，则无公共收敛域，X(z)不收敛，即在z平面的任何地方X(z)都无界。这种Z变换没什么意义。

例1.1.3　已知x(n)=c|n|，c为实数，求Z变换X(z)及其收敛域。

解：

如果|c|<1，则存在公共收敛域，有

序列及其收敛域如图1.10所示。如果|c|≥1，则无公共收敛域，X(z)不收敛。

3．Z变换的性质

（1）线性

Z变换是一种线性变换，可以使用叠加定律，即如果

那么对任意常数a、b都有

其中收敛域(R1,R2)是和的公共收敛域，即

如果在aX(z)+bY(z)中能消去极点，则收敛域会扩大。例如

由于极点z=a被抵消，因此收敛域扩大到|z|>0。

（2）序列移序

如果

则

一般收敛域不变，但由于有因子，所以当±n0>0时要去除∞点，当±n0<0时要去除原点。

（3）序列加权

如果

则

（4）因果序列的初值

如果x(n)为因果序列，且Z[x(n)]=X(z)，则序列x(n)的初值为

（5）因果序列的终值

如果x(n)为因果序列，且Z[x(n)]=X(z)，而X(z)除在z=1处可以有一阶极点外，其他极点都在单位圆|z|=1以内，则序列x(n)的终值为

（6）时域卷积

如果w(n)=x(n)*y(n)，则

即

W(z)的收敛域是X(z)和Y(z)的公共收敛域。如果X(z)Y(z)可以消去极点，收敛域可以扩大。

（7）复序列的共轭

如果

则

（8）序列反向

如果

则

计算给定序列的Z变换，通常有3种途径：

①利用定义式（1.1.11）；

②利用Z变换的性质；

③直接查Z变换表。

Z变换表可在相关资料中找到。表1.1中给出了几个经常作为公式使用的Z变换。

4．系统函数

1.1.2节已经讨论过，一个线性移不变离散时间系统可以用它的单位脉冲响应h(n)来表示其输入与输出序列的关系（式（1.1.8）），即

对上式两边取Z变换，得

即

H(z)被定义为系统函数，它是单位脉冲响应h(n)的Z变换，反映了系统本身的特征。因为系统函数是输出、输入序列的Z变换之比，从Z域反映了输出、输入的关系，所以系统函数有时也被称为转移函数、传递函数或传输函数。

如前所述，一个线性移不变离散时间系统也可以用差分方程来表示，将式（1.1.9）重写为

如果不研究系统的瞬态现象，并假设系统起始时是零状态，就可以直接对上式两边取Z变换。利用Z变换的移序特性可得

整理可得系统函数为

这是一个z-1的N阶常系数有理分式，它的系数正是差分方程的系数。式（1.1.14）的分子与分母多项式也可以用因子的形式表示为

其中，{ci|i=1,…,N}是H(z)在z平面的零点，{di|i=1,…,N}是H(z)在z平面的极点。因此，除了比例常数A以外，整个系统函数可以用它的全部零、极点唯一确定。

系统函数反映系统的稳态特性，它包含了许多关于系统的信息，比如从它的收敛域可以看到系统的因果性、稳定性，从它的零、极点可以大致估计系统频响，从系统函数有无分母可以判断它的类型和结构。下面对这些问题进行讨论。